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Understanding 9/11Leçons De Géométrie IIIe Semestre Variétés Différentiables
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- Publication date
- 1990
- Topics
- Espaces vectoriels, Théorème de Kronecker-Capelli, Espace dual, tenseur, Fonctionnelles multilinéaires, Théorème de Cartan, Théorème de Jacobi, Hypersurfaces, opérateurs linéaires, Espaces euclidiens, Espaces hermitiens, Opérateurs adjoints, Fonctions différentiables, Projections, Vecteurs tangents, surfaces isométriques
- Publisher
- Éditions Mir
- Collection
- mir-titles; additional_collections
- Language
- French
Les cinq premières leçons qui ne concernent qu’indirectement la
théorie des variétés différentiables sont consacrées à la géométrie
différentielle élémentaire. Après la théorie des courbes (les formules
de Frenet) on construit la première et la deuxième forme quadratique
d’une surface, on établit les formules de dérivation de Weingarten
et on prouve le théorème de Gauss d’invariance de la courbure totale.
Tout ce qui ne conduit pas directement au théorème de Gauss a été
oblitéré (les théorèmes de Meunier et d’Euler, les lignes géodésiques,
les lignes asymptotiques, les lignes de courbure, etc.). En deuxième
année ces questions sont parfois ajournées jusqu’au milieu du semestre
(pour pouvoir développer les principales notions de théorie générale
des variétés différentiables indispensables au cours d’équations
différentielles). Ceci a certes permis d’éviter certaines répétitions
(par exemple on n’a plus eu besoin de définir deux fois la différentielle
d’une application différentiable: une fois pour les surfaces,
une autre dans le cas général), mais s’est peu justifié méthodologiquement
(et a trop subordonné la géométrie différentielle élémentaire
— qui en principe est locale — à la théorie des variétés).
A proprement parler la théorie des variétés commence par la
leçon 6. Les leçons 6 à 15 sont consacrées aux principales notions
géométriques et aux théorèmes de la théorie des variétés. Si l’on
veut limiter cet ouvrage à 11 leçons, on peut garder 4 des 5 premières
leçons et sacrifier les leçons 8, 9 et 10 (qui développent essentiellement
la théorie topologique de la dimension et le théorème de Tikhonov)
; dans un cours de 16 leçons on peut se séparer de la leçon 10.
Les autres leçons de ce groupe (qui sont consacrées essentiellement
aux théorèmes de Sard et de Whitney) doivent à mon avis être conservées
dans toute variante.
Dans la variante à 11 leçons, le cours s’arrêterait là. Du reste
il est possible dans ce cas, en abrégeant et comprimant l’exposé,
d’économiser une heure et demie pour développer une partie des
leçons 16 et 17. La théorie des formes différentielles (leçons 18, 19
et 20) serait reportée au prochain semestre (ou laissée à la discrétion
du professeur d’analyse).
Dans la version à 16 leçons on peut éviter ce report et clore le
cours par la leçon 20 dans laquelle on démontre sur l’exemple de la
sphère les diverses méthodes de calcul des groupes de cohomologie
de de Rham. [A noter que cela reviendrait à exclure les leçons 24
à 29 qui seraient à la charge du professeur d’analyse.]
Dans les leçons 21, 22 et 23 on tente pour la première fois d’exposer
d’une façon assez complète la théorie de l’homologie et de la cohomologie
— jusqu’aux suites spectrales! On a pu le faire en rompant
avec le point de vue traditionnel et en renonçant à l’exposé de la
théorie simpliciale de l’homologie qui passe pour être géométrique
ment suggestive. [Il m’est agréable de signaler que la même approche
— mais à un niveau plus poussé — a été adoptée dans l’ouvrage
de Bott R. & Tu L. « Differential foras in algebric topology »
que nous recommandons vivement à ceux qui désireraient connaître
les idées et les constructions fondamentales de la théorie classique
de la cohomologie dans un esprit moderne.] Si l’on manque de temps,
on peut sauter la deuxième moitié de la leçon 22 et la leçon 23.
Enfin les leçons 24 à 29 que l’on peut partiellement intervertir
avec les leçons 21, 22 et 23 sont consacrées à l’intégration. L’exposé
a été sciemment abrégé (on ne dit rien par exemple des fonctions
d’ensembles additives), car ces leçons ne reflètent qu’une partie
de la situation générale, l’autre partie se rapportant à l’analyse.
La leçon 28 peut être entièrement confiée au professeur d’analyse.
On peut aussi se limiter à la seule leçon 29 qui est indépendante des
quatre leçons précédentes.
Traduit du russe par Djilali Embarek
Un grand merci à Henri Leveque pour le scan original.
- Addeddate
- 2023-02-03 15:17:49
- Identifier
- postnikov-lecons-de-geometrie-iiie-semestre-varietes-differentiables-mir-1990
- Identifier-ark
- ark:/13960/s2qr0fx530n
- Ocr
- tesseract 5.3.0-1-gd3a4
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- fr
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- Latin
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- 98.60
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- 600
- Scanner
- Internet Archive HTML5 Uploader 1.7.0
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