Skip to main content

Full text of "موقع دار العلم المراجعة النهائية انجليزي اولي ثانوي ترم ثاني 2022"

See other formats


الرياضيات للصؤه الأول الثانوي - الفصل الدراسي الثاني الأمتاط القدير / علي الدين يحيي 01919770517 


الوحدة الأولى : المصفوفات 
٠‏ المصفوفة : هى ترتيب لعدد من العناصر فى صفوف أفقية 
وأعمدة رأسية بين قوسين 
« المصفوفة التى عدد صفوفها م وعدد أعمدتها ده تكون على 
لظم 1ه 


)١( تدريب‎ 


اكتب المصفوفة ( *ى ء ) على النظم ؟ بحيث .> ص دع 


نرمز للعنصر داخل المجموعة بالرمز ؟مى ع ( تقرأ ألف صاد 


عين ) حيث : ص ت رقم الصف ء»غ - رقم العمود 


0 اكتب نظم كل من المصفوفات ؟ . ب. 6 
)62 اكتب العناصر الآتية : أبمىء ابو 2 5 2 ليمي ء م" 2 
4 


الحل 
٠ 6(‏ عل النظم 6< ؟ ء ب على النظم *< ؟ » ج على النظم 


لمحن 


اكتب المصفوفة (؟. ع ) على النظم ؟ع الى _خص +ع 
الحلن 

أن ١>‏ +؟ذا ١ح‏ ”2 ان 12 »ادم 

علس ١>‏ 1<" دلا ى - 2 +'«اادا 

لمم > ؟ + ؟ يا ؟ د 1 ل > ؟ + 5« دم 


0 


* ه ل”" 
5 ك مق 





عناصر المصفوفة 'لى ء حيث ص ,)ع 65201" تى: 
) وهى مصفوفة على النظم 
» بعض المصفوفات الخاصة 
(1) مضفوفة العف ؛ 
هى المصفوفة التى تحتوى على صف واحد فقط 
مثلاً:٠‏ -(؟ )١- ٠‏ مصفوفة صف عل النظم "١‏ 
(؟) مصفوفة العمود: 
هى المصفوفة التى تحتوى على عمود واحد فقط 
منلة: -[ ') مصفوفة عمود على النظم ؟ ١‏ 
(") المصفوفة المريعة : 
هى المصفوفة التى فيها عدد الصفوف - عدد الأعمدة 
ملا ١‏ + م كّ مصفوفة مريعة على النظم ؟ “؟ 
(؛) المصفوفة الصفرية : 
هى المصفوفة التى جميع عناصرها أصفار ونرمز لها بالرمز ل] 
مذ حي -[: ( 
(0) المصفوفة القطرية : 
هى مصفوفة مربعة جميع عناصرها اصفار ماعدا القطر 
الرئيسى يكون أحد عناصره على الأقل لا يساوى الصفر 


3( مصفوفة الوحدة : 
هى مصفوفة قطرية كل عناصر قطرها الرئيسى تساوى الواحد 
الصحيح ونرمز لها بالرمز 1 . 


».صر اداع -03. /إابرانىا 

















الرياضيات للصؤه الأول الثانوي - الفصل الدراسي الثاني الأمتاطذ القدير / علي الدين يحيي 01919770517 


بجمع )١(‏ + (2) » ؟ج-”5 ومنها ج-م 
بالتعويض فى )١(‏ : 


> 1# + و-١‏ يم و<١-”‏ بج أو--؟ 


تدريب 


أكتب نوع ونظم كل مصفوفة ممايق أسفلها : 


٠»‏ تساوى مصفوفتين 

تتساوى المصفوفتين ١‏ » ب إذا كانا: 

() الما نفس النظم (©) كل عنصرف ' يساوى نظيره فى ب 
مثال (©) 


)1 م 


من التساوى نجد أن : س - ه . ص - ؛ , ع -م مدورالمصفوفة ' نرمزله بالرمز 7 وهو نفس المصفوفة " بعد 
' +ع - +مد ف بال 

اس ص لع د و يزع +8 -م» استبدال الصفوف بالأعمدة بنفس ترتيبها 

١ م‎ 


مثلاً: إذاكانت ‏ > [ 


1 سنن 0 
إذاكانت ٠‏ - [ د ) وكانت 7 - يه 
0 م 1١‏ ص ١+‏ 


فأوجد: س . ص ثم قيمة المقدار: (“س + ؟ ص) 


ادن 






































الرياضيات للصذ الأول الثانوي - الفصل الدراسي الثاني 


1١ 
١+ ص‎ 
مد‎ 
دم م ص62‎ ١+ ص‎ , (١ اس ح‎ 
١-)6(6 +)١-(م‎ - ساس + وص‎ ٠. 


س, - ص فأوجد قيمة كل من ؟ 3 ب ثم أوجد قيمة ١4(‏ + ب) 


شل 


*ا «+؟ لوآ -- 
ررح ٠‏ ضرم > 
5 ع5 مق 1 


© المصفوفات المتماثلة وشبة المتماثلة 
إذا كانت م مصفوفة مريعة فإن : 
© ' مصفوفة متماثلةجه م-0” 
٠ ©‏ مصفوفة شبة متماثلة جه م8 --م” 
ا عا 
مثلاً: المصفوفة ؟ -]| -2 “ير 7 | مصفوفة متماثلة لأن 


49 


0 7 انا 


مود مهمد ( لاحظ تماثل العناصر المصفوفة حول القطر الرئيسى ) 


» المصفوفة ب-| ؟ “2م “7 | مصفوفة شبة متماثلة لأن 


ب 7 لم 
ب- -ب” ( لاحظ عناصر القطر الرئيسى كلها أصفار وبقية 
عناصر المصفوفة متساوية عددياً ومختلفة فى الاشارة حول القطر 
الرئيسى ) 
سؤال : المصفوفة القطرية متماثلة أم غير متماثلة ؟ 
الاجابة : المصفوفة القطرية هى مصفوفة د 


للأسقاطذ القدير / غلي الدين يديي 1935:517لله: 


الحل 
٠.‏ * مصفوفة متماثلة .. »بس --» م س ١--‏ 


» 6س ص لا حم -عم + ص دلا حم ص - !+4 0-6و 


إذا كانت سمع]| "5 9 7 | مصفوفة متماثلة فأوجد قيمة 


١ ..‏ مصفوفة شبة متمائلة .. »ىعس -5 م س - م 


» ؟س لاص ح ده حم 0(6) + ص دادو حم ص - ١١‏ 


إذا كانت سمعد| سم 
#+دكب لآ 
فأوجد قيمة كل من ؟ . ب 


الل 


)9 س اص ع اص)-(-م ده‎ سك؟١(تناكاذإ‎ )١( 


فأوجد قيمة كل من: س . ص . ع 


5 00 سس 03 3 
55 
عو هوا“ -ءو ص ) أت 


ب فأوجد قيمة كل من س »)ص ثم أوجد قيمة #9 اس اص 


ع1 سس م 
» بد كان 
1 لّ 89 د 


ب فأوجد قيمة كل من س »ص ثم أوجد قيمة 9س ها ص 


(9) إذا كانت ؟- 


2 51 
() إذا كان “م 


١ص‎ ١ 
دسم‎ 5 


(9) إذا كانت م -/ 


ذأ مصفوفة متماثلة فإن ص - ... 



































الرياضيات للصؤه الأول الثانوي - الفصل الدراسي الثاني الأمتاطا القدير / علي الدين يحيي 01919770517 


. 
١ -‏ 
ب 
ينعا رصع "فارج ةل من 8 باقر ريد 
قيمة(؛0 + ب) 


020 إذا كانت ؟ مصفوفة على النظم " * ", وكان ام ء > ؟ ص +ع 
أكتب المصفوفة * . 


"١‏ جمع وطرح المصفوفات 
٠‏ شرط جمع مصفوقتين 
الأولى مع نظيره من المصفوفة الثانية 
مثال (01) 7 ؟ ١‏ صن 
إذا كانت م -(91 -6 «), ب<د(ه 6 -م) فأوجدم + ب 1 -[( م /)-. 
الحل 


+ب ١(-‏ -م م)+(زه © -”) ع (ه 5م 2.) 


من (20201) ينتج أن :(0 +اب)*” 2م جاب 


من )2(2)١(‏ ينتج أن : ل ل 270 
مثال (4) 
أوجد قيم ؟ » ب ء ج التى تحقق المعادلة الآنية : 
9 8 0 0 5 00 
و ح-2 3 
جب -؟ -آ جب+”م ١١‏ 


0 


9م لاب ؟م+؟ »ع 5 :8 +ب 
5 + 
عاج لو 3 جبدم لء١‏ 


























الرياضيات للصؤه الأول الثانوي - الفصل الدراسي الثاني الأمتاطذ القدير / علي الدين يحيي 01919770517 


0 5"( ) ممسسعسف |( ج10 7020 


١ ١ > ١ 
"ام ع-)( +0 © “8م - )م -د0 »م 80د‎ 


١- /ا‎ ١ 
أ‎ (-) (-) [0 . ٠١2 ماب دءلا دب حم بمب اب 2١٠ل ام 6ب‎ » 
7# 5 ؟"‎ ١ 


ل ا له د لش اد من (22(6)01) ذستنتج أن : م - ب + ب- ٠‏ عملية الطرح ليست 


تدريب 


أوجد قيم ؟ ء ب ء ج التى تحقق المعادلة الآنية : 


ةذ" > 5 وهب 
2( + 
ج +ب؟ . 


”ا 
الل 6 


)١(‏ خاصية الابدال: ؟ + بح ب+م 
() خاصية وجو المحايد الجمتى : 
المصفوفة الصفرية 2] هى المحايد الجمى 
(؟) خاصية المعكوس الجمعى : )١-(‏ هو المعكوس الجمعى 
البصترقة 0 عيف عردو دود يداح 
م« لع 


مثلاً: إذا كانت ؟ -] ه فإن المعكوس الجمعى لما 
لا م 
- + 


٠‏ شرط طرح مصفوفتين 
أن يكون لما نفس النظم . ويتم طرح كل عنصر من المصفوفة 
الشانية من نظيره من المصفوفة الأولى 




















الرياضيات للصؤه الأول الثانوي - الفصل الدراسي الثاني الأمتاط القدير / علي الدين يحيي 01999770517 


حارلف 

5 ١ 5 

إذا كانت <| ١-‏ ”# أءبد| ١‏ 
3 . 


5 8 مد 
أوجد المصفوفة سء بحيث : س” + » ب - م + ل ع 


سء التى تحقق العلاقة : ١*‏ - »© ب - ؟ س,- 15 حيث 1 على 


النظم ؟ »ام 
الحلن 


؟س, ع مم مب + 8[ 
9 8 9 
دم -2 
؟ ام ٠‏ 
١ع‏ بم 5 
؟ سمح + 
ف 5 40 ٠‏ 

















الرياضيات للصذه الأول الثانوي - الفصل الدراسي الثاني الأمتاطذ القدير / علي الدين يحيي 01999770517 


357 3 03 ٠ له‎ 

* )-ن أ ,/ ' - ١‏ أ ' على النظم ؟<؟ ء ب على النظم ؟ “ا م 

د 4 فى ا 1 © ١‏ ب على النظم ؟ ام 

0 لدم 5 
> / ل ) -( 307 ١ 0 ٠‏ هه م 

20-7 او م« و) دوع هع 
ومن قتساوى مصفوفتين _ هاا عيا_-١|‏ هكاهب)عايا؟ هلام كايا اع 

#ا1-اكا_-١‏ طااعاه-_إاءكا؟ #عا” _ايعاع 


1 ١ لا‎ 


١ 
؟لع-, يي لع-ل , ووصد رح وحدح‎ 


بضرب المعادلة ٠ > )١(‏ وجمعها مع المعادلة (2) : 
له-2 © له 2م ؟ وبالتعويض فى (2) 


« على النظم ؟ ا" ء ب على النظم *“<ا؟ © ٠‏ ب على النظم 


؟ يا" 


أوجد قيم س ء صص , ع », * ء ب إن وجدت فى كل مما : ا 09 


ه ١‏ س ص إن لا 
)0 ع نس )| [إع م]ة لماه ساسحو 


ايا" +كياه- يالا -إها ع +ؤياع هام 


5 
2( 1 7 
فاأصالا ا ( 


3 3 1 ه* م58 


5 0 
0( إذا كانت ٠‏ ل[ ؛ 000 ١‏ إذاكانت ٠‏ >[ 1 


5 8 


أوجد ؟ ب ء ب ٠‏ . هل ١‏ بح ب م ؟ 


؟ ‏ ضرب المصفوفات 


: شرط وجود * ب أن تكون‎ ٠. 


٠١‏ مصفوفة على النظم *#غال » ب مصفوفة على النظم ل 2اله 
أى عدد أعمدة المصفوفة الأأولى - عدد صفوف المصفوفة الثانية 
وتكون المصفوفة ٠‏ ب الناتجة من عملية الضرب على النظم /*اله 031 
ونلاحظ أن كل عنصرف المصفوفة ؟ ب يساوى جوع حواصلر || © استخدام الآلة فى العمليات على المصفوفات 
ضرب عناصر الصف ص من ' فى عناصر العمود ع من ب أ ؟: ادخال اللصفوقة ؟ >[ , 1 09 

)١( , 1‏ أضغط مفتاح 710117 تظهر لك شاشة بها عدة أنظمة 
إذاكانت ؟ >[ ! 0 نختار منها نظام المصفوفات 7111817 وهو رقم 

(؟) بعد الضغط على رقم 7 تظهر لك شاشة تحديد اسم المصفوفة 


من )2206)١(‏ نجد أن ١‏ ب...... ب 0 
نستنتج أن عملية ضرب المصفوفات ليست إبدالية 





























الرياضياتته للصك الأول الثانوي - الفسل الدراسي الثاني 
١‏ الضغط على ١‏ يعنى اختيار المصفوفة 4 . 
الضغط على ؟ يعنى اختيار المصفوفة 13 » 
الضغط على ” يعنى اختيار المصفوفة © 
بعد الضغط على رقم ١‏ تظهر شاشة اختيار نظم المصفوفة وهو 
هنا؟»< 8 أى رقم ) 
بعد الضغط على الرقم ؟ تظهر شاشة ادخال عناصر المصفوفة 
ونستخدم علامة - لادخال العنصر ونبدأ بعناصر الصف 
الأول ثم الغانى وهكذا كما هو مبين من اليسار لليمين 
-1-5-3 
ثم ندخل عناصر الصف الثافى : -04)-21-2) 
7 1 0 
ثانياً: إدخال المصفوفة ب -] ه ‏ 5 
لا حم 
(5) نضغط 4 51111"1 ثم 2 
(7) بعد الضغط على مفتاح ؟ ( داتا ) تظهر شاشة اختيار المصفوفة 
(0) بعد اختيار المصفوفة 8 تظهر شاشة اختيار النظم 
(8) بعد اختيار النظم ندخل عناصر الصف الأول والثانى ونضغط 
6ه للدلالة على انتهاء عملية الادخال 
6 لإيجاد ٠‏ ب نضغط المفاتيح التالية بالتتابع من اليسار لليمين : 
(0) 5781171543 + فيظهر على الشاشة : 4 7/141 
(») نضغط علامة ا 
(0) 4 511117714 .ه فيظهر على الشاشة : 8 7/1401 
(4) نضغط علامة - فيظهر على الشاشة المصفوفة ناتج الضرب . 
© لإيجاد 9+ ب نضغط المفاتيح التالية بالتتابع من اليسار 
نجرى نفس الخطوات السابقة ولكن نضع علامة + بدلاً من 
علامة »ا فى الخطوة رقم ؟ . 
© لإيجاد ١‏ نضغط المفاتيح التالية بالتتابع من اليسار لليمين: 
(0) 511171548 ه فيظهر على الشاشة: ) 712 
(9) 51111"143 وذلك لاختيارالمصفوفة 44 ثم نغلق القوس 
فيظهر على الشاشة : (4 '11401) 0اآ' 
(*) نضغط علامة > لتظهر على الشاشة المصفوفة 76 
© لإيجاد + ب نضغط المفاتيح التالية بالتتابع من اليسار 
نضغط المقاتيح المبينة التالية بالتتابع من اليسار لليمين : 
- 4 4 :511111 + ( 3 4 '51111”1 8 4 511111 
أو نضغط : - 4 4 511111 » ( 3 4 511111 8 4 511111 


للأسقاطذ القدير / غلي الدين يديي 535:517ؤللله: 


خواص عملية ضرب المصفوفات 
)0 خاصية الدمج : (؟ ب) 6 ١-‏ (بع) 
(») خاصية وجود المحايد الضربى (1 ) : ؟ 1 ١1-‏ -0 
(؟) خاصية توزيع ضرب المصفوفات على جمعها : 
(ب )عم ب+ميٌ , (0د+ب)ع-دمة6د+بة 
(؛) مدور حاصل ضرب مصفوفتين > مدور الثانية “ا مدور الأولى 


أى أن : (0ب)* ”دب ' 
مثال (9) 


٠ ١ 00 
)ا كاد‎ 
؟‎ ١ ١- 


أثبت أن : ١(‏ ب)ش - م (بعٌ) 


إن 
إذا كانت ٠‏ 2[ 
ع ؟. 


١ 
> همه‎ 


6د[ 


م06 »م 


الب +6) ل[ 7 





».صر اداع -03. بنابانىا 

















الرياضيات للصهم الأول الثانوي - الفصل الدرواسي الثاني الأمتاط القدير / علي الدين يحيي 111977:715: 
ع سانا 5 لم١‏ ع السك الحل 
- + ع ( 
2-0 ل كم د يسن م 3 ( ؟س + و 0 
ب >2 6 
من (١):2(؟)‏ > الطرفان متساويان : ه اص وس +ده١‏ لم كدهص 
كضجة 4ل+كصعر 7١‏ 4])ى 
#+س+ه١‏ لمعدوص )| ١8 ١١/‏ 


6س + و لا م 6س لا توح -م م سد ١‏ 


هعجسص ١.١بالاس‏ 
+ 0 
ع« ١‏ 5 
/لا+سصضص ١١+لاس‏ 6 
٠‏ إن إزه 


+١ ..‏ يس دده حم لاس - (١١-86‏ لم لاس ح 0 


م س--م 


» لا+دس ص ح لا »م /ا- ص - لا حم وص ح لا لا 























الرياضيات للصذه الأول الثانوي - الفصل الدراسي الثاني الأمتاطا القدير / علي الدين يحيي 019197370517 


: المحددات 
© أولاً : محدد الرتبة الثانية : 
قيمة محدد الرتبة الثانية قساوى حاصل ضرب عنصرى القطر 
الرئيسى مطروحاً منه حاصل ضرب عنصرى القطر الآخر. 
كان 
أوجد قيمة كل من المحددات الآتية : 


© © 


همك 


د ” 


6 


١ 
ا ١ع ظك ادم‎ ا١-؟‎ «<7 . 


ع ع 2ك 
)١(‏ أكمل مايأق: 5 د وكام -١يرا(-؟)-١٠١‏ + د1١‏ 
( إذا كانت ٠‏ مصفوفة على النظم << ؟ » ب مصفوفة على النظم 
ته 
ا" فإن ٠‏ ب مصفوفة على النظم | أت" ع ؟-[س 6( ة) ] سح-»؟ دل 
» ب م مصفوفة على النظم م 2 
5 
(© إذا كانت ؟ مصفوفة على النظم ؟ “<” , ٠‏ ب مصفوفة على 1 5 (-؛)-(-م) »رم --)) + ))د. 
النظم ؟ 6ا١‏ فإن ب مصفوفة عل النذ 9 ”5 
لنظم ١“‏ فإن مصفوفة على النظم دريب 
٠‏ 539 5 لهو 5 مد 5 +هوى ع سم 
(ج) إذا كانت ١‏ مصفوفة على النظم *<؟ ء» ب مصفوفة على وجد قيمة كل من المحددات الآتية 
النظم <١‏ ؟ فإن المصفوفة ٠‏ ب تكون على النظم 0 5 ا" 6 -ه 
عدد عناصر المصفوفة التى على النظم " * ؟ يساوى 0 داس ١‏ 


١‏ -؟ 
إذا كانت ١‏ - )اب 2ت 
؟ ١‏ 


مد مد 
وب بم ,م بى مب 





١ 
١ |<- ١ إذا كانت‎ 
4 ”م‎ ١ 


أثبت أن : ٠‏ ب - 11٠١‏ 


١ ١‏ ل يا 
إفذكات ١‏ - [1 )0 >[ ا 
ا ١ ٠‏ سن ص 


فأوجد قيمة كل من س ء ص الى تجعل * ب - ب" لوس-) ع دم > سوس ع-م) + )»م 


إذا كانت ١‏ - ل 0 بع ل ّ 0( > مس حب )؟ م س دم 


؟ اه .ا الا 
مثال (؟) 


فأوجد المصفوفة سه التى تحقق العلاقة ||| أوجد مجموعة حل المعادلة الآنية : 


الحل 


حل المعادلة الآتية : 


























الرياضيات للصذ الأول الثانوي - الفصل الدراسي الثاني 


س(س )5-5 حم س(س-))2د. 
© س -. أ س -) س 3 (1.0؛) 
تدريب 


ع 


5 
أوجد قيمة س التى تحقق المعادلة : ١‏ 
الحل 
تدريب 


س +7 
ع 


ع 


أوجد قيمة س التى تحقق المعادلة : 


الحل 


(س+م)(س -م)-_-()) دام 


3 ثانياً : محدد الرتبة الثالية : 

نتعرف أولاً على 

)١(‏ المحدد الأصغر المصاحب ( المناظر ) للعنصر: 
يمحن الحصول عليه بحذف الصف والعمود المتقاطعين على 
هذا العنصر 
إشارة المحدد الأصغر : 


تتحدد كما بالشكل المقابل : 


3 فك محدد الرتبة الثالية : 
يمكن فك محدد الرتبة الثالئة باستخدام عناصر أى صف أو أى 
عمود ومحدداتها الصغرى بإشاراتها . 
مثال (4) 
؟ لالط( 
أوجد قيمة المحدد| ا م/ 
١‏ عردم 


قيمة المحدد -؟ 


١ 
+ 
بير‎ ١ لبي‎ ١ 
)م+؟(+)١‎ + ع-)(-)+6)-_ م("‎ 


2-2 ا( ) _بمها(ز؟)+ى٠‏ 


حا + باع -م) 


؟ | باستخدام عناصر العمود الأول 


للأسقاطذ القدير / غلي الدين يديي 535:517ؤللله: 


مثال (0) 
1١‏ 
باستخدام الصف أو العمود 


قيمة المحدد - صفر 5 


دم (4-15) ع مير عدوم 


ددريما 


قم بفك المحدد السابق عن طريق عناصر الصف الثانى 


3 المحدد على الصورة المملئية : 
هو محدد جميع عناصره التى تحت ( أو فوق ) القطر الرئيسى أصفار . 


وتتحدد قيمته بحاصل ضرب عناصر القطر الرئيسى . 
٠ ١‏ 
<١ -‏ ) ع2 





إيجاد مساحة سطح المثلتٌ باستخدام المحددات 
مساحة سطح المثلث س صل ع حيث : 
س-(ء.ءب)ءص > (ج.و)ء ع <-(هءو) هى: |م| 





























الرياضيات للصؤه الأول الثانوي - الفصل الدراسي الثاني الأمتاط القدير / علي الدين يحيي 01919770517 


مثال (3) 
أوجد باستخدام المحددات مساحة سطح ىه ؟بج الذى فيه: 
لع سوس عقوم رهد راحم سار ممعم 
الل 
بفك المحدد عن طريق العمود الأخير: 


ضع جع ١‏ 


| الع 
١‏ (أإع+ - 
4ع #م| إسع 


١ 


١ 
١ 
3 


-(4+9)-(-5-م)+(؟ +0 )دام 


7 مع ل» ”١‏ - ه,ه١‏ وحدة مربعة 


تدريب 
أوجد باستخدام المحددات مساحة سطح ىه ؟بج الذى فيه: 
م«( -ئ.١)‏ 2 ب(؟.؛) 3 ج(-م, ه) 


(6 إذا كانت محدد المعاملات ( يقرأ دلتا ) ه + صفر 
: : فا" 7 
٠‏ ملحوظة : لإثبات أن النقط الغلاثة تقع على استقامة واحدة الوط ويه 
, إذاكانت ى - صفر فإ : نهاقٌ م | 
نثبت أن مساحة سطح المثلث الذى رؤوسه هذه النقط تساوى 3 59 1 صفر فإن للمعادلات عدد لا نهان من الحلول 
2 أ 
صفراً ( أى نثبت أن .ه - صفر ) وليس ها حل ْ 
٠ 30 ٠‏ هه هو 4ه ددريب 
نظام من المعادلات الخطية بطريفة كرا 5 0-0 
مثال (17) 
ءِ 1110 وس اص ح هو , س + لاص - ١‏ 
أوجد مجموعة حل نظام المعادلات التالية بطريقة كرامر: 


س ح ؟ باع اص ,2 س + )وص +ع لا , ساس باع ٠١6-‏ لاص 


س + ص ساح ك؟ 

س + م ص + ع - لا 

بعس ناص لاع ٠١-‏ 

بالفك عن طريق العمود الأول : 


المعكوس الصربى للمصفوفة ؟ << ؟ 
إذا كان للمصفوفة ؟ معكوساً ضربياً فإننا نرمزإليها بالرمز 5 ' 
ويشترط لوجود المعكوس الضربي أن يكون محدد ١‏ - 4 + صفر 




















س + ماص دهم 00م مس +هوصض دم 


الرياضيات للصؤه الأول الثانوي - الفصل الدراسي الثاني الأمتاطذ القدير / علي الدين يحيي 01919770517 


(؟) نحول المعادلات إلى الصورة المصفوفية : ٠‏ س, - 6 


٠ س‎ " ١ 
ع ا ا د‎ 
١ نوجد المعكوس الضرى لمصفوفة المعاملات ؟ -م‎ )5( 
١ أثبت أن للمصفوفة سء معكوسا ضربياً وأوجد هذا المعكوس حيث ||إام - ل هم دإالاه_عيرام-‎ 
أن ؟ك اه‎ 
00 0-7 
(١ 5 


الحل 


٠ 


0 للمصفوفة معكوس ضربى -ه‎ © ٠22-170-1-| 


-ه -1) رم 

0 -ه؟ + ع5 س 2 ١‏ 

00 ا اك 

مثال (9) .. سع كا . ص-»؟ > مجموعة الحل- ((-1١.2؟))‏ 

5 5 ١ 5 8 5 

أوجد قيم ١‏ التى تجعل للمصفوفة ل ١‏ أ معكوسا ضربيا . 
الخ 

- صفر تجعل المصفوفة ليس ا معكوس ضربى 


تدريب 
حل نظام المعادلتين الآنيتين التاليتين باستخدام المصفوفات : 


' 


.. 9د -(- 1 ) تجعل للمصفوفة المعطاة معكوساً ضربياً 
تدريب 


00 1 م ١‏ 
أرجد قيم! الى تجعل المصفوفة |[ !| ليس ها معكوس ضربي 


« القاعدة: إذاكان ١‏ س, -ث فإن س, -م 6١‏ 
حيث : ١‏ - مصفوفة المعاملات » سم - مصفوفة المتغيرات 0( أوجد مساحة سطح ل ؟ بج الذى فيه : 
٠‏ 6 - مصفوفة الشوايت '(* ")ءب(.-؛)ء ج(-4ء؟) 
مثال )1١(‏ (؟) باستخدام المحددات أثبت أن : 
حل نظام المعادلتين الآنيتين التاليتين باستخدام المصفوفات : (98898(:)1-6)ء:(5:-7) تقع على استقامة واحدة. 
نامك ا وض ( إرشاد : نثبت أن د )٠-‏ 
الحل (؛) حل باستخدام طريقة كرامر: 
)0 نضع كل معادلة على الصورة : ؟ س + بص - ج (6© مس - روص , لاص وس - ٠١‏ 


».صر اداع -03. دارا 






































الرياضيات للصذ الأول الثانوي - الفصل الدراسي الثاني 


() مس + ص بع - م , وس مع - و١١‏ 
6 وص لابلاع 
(5) أوجد قيم ' التى تجعل المصفوفة 5 
معكوس ضربى 
(5) حل باستخدام المصفوفات : 
6 وس 8+ لاص ,. ص - واس 
(©) وس لاص دم , س ‏ ماص - »6 


الوحدة الثانية : البرمجة الخطية 
١-المتباينات‏ الخطية 


حل متباينات الدرجة الأولى فى مجهول واحد 


: خواص علاقة التباين فى ح‎ ٠ 
المتباينة هى معادلة بعد استبدال علامة التساوى بعلامة‎ )١( 
.) < العباين ( > أ < أ > أ‎ 
: من أوجه اختلاف المتباينة عن المعادلة‎ )( 
عند ضرب طرف المعادلة فى أى عدد فالمعادلة لا تتغير‎ )0( 
بينما المتباينة لا تتغير فقط عند ضربها فى عدد موجب أما إذا‎ 
ضُربت فى عدد سالب فإننا نقلب علامة التباين.‎ 
(ب) عند قسمة طرف المعادلة على أى عدد فالمعادلة لا تتغير‎ 
بينما المتباينة لا تتغير فقط عند قسمتها على عدد موجب أما‎ 
إذا فُسمت على عدد سالب فإننا نقلب علامة التباين.‎ 
: ملحوظة هامة‎ ٠ 
إذا كانت المتباينة فى مجهول واحد فإنه يمكن تمثيل مجموعة حلها‎ 
على خط الأعداد.‎ 
أما إذا كانت المتباينة فى مجهولين فإنه يتم تمثيل مجموعة حلها بيانياً‎ 
. بواسطة تظليل المنطقة التى تمثل مجموعة الحل‎ 
0( مثال‎ 
مثّل بيانياً مجموعة حل المتباينة : ؟ س-‎ 
الحل‎ 
ل انا ويمثل المستقيم ؟ س - ص - 5 بخط‎ -ٍ 
ص | -"| .|-ع‎ 
متصل لوجود علامة (-) فى علامة التباين . كما يمكن تمثيل‎ 
: المستقيم بطريقة الميل والجزء المقطوع من محور الصادات كالتالى‎ 


ص - ؟ س - 5 فيكون الميل > ؟ » وطول الجزء المقطوع من محور 
الصادات > 5 فى الاتجاه السالب من المحور. 


ص > 5 

















للأسقاطذ القدير / غلي الدين يدبي 37:517ؤلللهء 


ولى نحدد الجهة التى نظللها ى تمثل مجموعة حل المتباينة نختار 
نقطة تة تقع فى أحد طرف الخط الممثل للمستقيم ولتكن النقطة 
لط طلطل] ٠ »٠0(‏ )ونعوض بها فى طرفى 
المتباينة فنجد أنها لا تحقق 
المتباينة ( لأن #٠‏ ” ) 
.. نظلل الجهة الأخرى من 
الخنط وتكون مجموعة 
الحل هى المنطقة المظللة 
والتى لا تحتوى النقطة 


نا 
لماكل | 1 | 1 1 | 


(200) كما هو مبين فى الرسم . 
مثال (6) 
مثّل بيانياً مجموعة حل المتباينة : 


ص > واس - ؟ 


ترس الميتظيم الحدىء 
ص دوس ”7 بخط 
متقطع لعدم وجود 
علامة (-) بالمتباينة 
٠‏ النقطة )٠.0(‏ تحقق 
المتباينة خ: . جموعة الخل 
هى المنطقة المظللة 

"١‏ حل نظام من المتباينات الخطية بيانيا 

مثال (5) 

أوجد حل نظام المتباينات الخطية التالى بيانياً : 


6س + باص »> 5 ىم برس + )اص <؟٠‏ 


يحي 


/ 


72 


8 0 المستقيم : 


؟.س + اص -ه 

















1/7/7 


8 817/11 1 ها لك 744/4142 77 
1000100007 


000/١ 
0|010|10110#1110101010 07070 

و00 | |[|11111111100010001000 
0 | |11111100000|0|0 
009 | |111111111000000 
لل م/م ك1 


/ 


للب ب ب ب جح يبا 














عع 





0000 












































الرياضيات للصؤه الأول الثانوي - الفصل الدراسي الثاني الأمتاط القدير / علي الدين يحيي 01919770517 


مثال (4) 
مقّل بيانياً مجموعة الحل لنظام المتباينات الآتية : 


ص حدس >». )4م 6س + وص << ١١‏ .م) صضص< 5+ كس 


المستقيم الحدى ل, : 
ص داس - . 
يمر بنقطة الأصل وميله 
١-‏ يمثل بخط متقطع 
» المستقيم الحدى ل, : 
ص - هداس كعك 

١‏ كك كاه 
يقطع " وحدات من محور 1111111117 11 
يمثل بخط متصل 
» المستقيم الحدى ل. : ص - 5 + ؟ س يقطع 5 وحدات من 
منظقة الحل هى المنطقة المشتركة فى التظليل 

مثال (ه) 

مقّل بيانياً مجموعة الحل للمتباينات التالية : 


س > . ام اص > ٠.‏ 4م ص + لاس <2 8 ,م ص دس < ١‏ 


- 


/ 


مقّل بيانياً مجموعة الحل لنظام المتباينات الآتية 
ص »> 6س + 5 , ص + مس < ١‏ 


ا 
لهذا 
كد 6ك كل نل اللا كلل 6ن لذ كلك كلد له لل لل 
هذ اها الس لها ,له 


ّ ف 


أي 
له اهيا 


3 


سآ  '"‏ البرمجة الخطية والحل الأميل 


1 0 مثال (5) 
تعنى الريع الأول 1 191 51 91 91 9 191 1 اكز ع فك 


ل ا 
الأربعة تمثلها المنطقة 
الواقعة فى الربع الأول 
والمشتركة فى التظليل . 


باستخدام البرمجة الخطية أوجد قيمتى س ء ص التى تجعل قيمة 
الدالة : ي - *س + ؟ ص قيمة عظمى ثم قيمة صغرى تحت القيود 
اس > 6 ,ا ص »> . .اس 4 ص  <‏ , ص > م 


000 

تعنى الربع الأول 

: نرسم المستقيم الحدى‎ ٠ 
١- ص -م -س الذى ميله‎ 
/ ويقطع جزءاً طوله‎ 
وحدات من محور الصادات‎ 
)٠.0(ةطقنلا الموجب»‎ 
مجموعة الحل لهذه المتباينة يمثلها‎ .. ) 8 < ١ تحقق المتباينة ( لأن‎ 
نقاط المستقيم لا نصف المستوى الذى تقع فيه نقطة الأصل‎ 

» نرسم المستقيم الحدى : ص -” وهو خط مستقيم يوازى 


تدريب )١(‏ 
مقّل بيانياً مجموعة الحل لنظام المتباينات الآتية : 


س << )ىم ص <اس + ؟ .م س + وص »> - 


سيفب 9 


عا 
لد 
لما 
لا 
لما 
- 
لما 
لعا 
با 
لما 
4 
لمأ 
اغا 
اا 














الرياضيات للصؤه الأول الثانوي - الفصل الدراسي الثاني الأمتاط القدير / علي الدين يحيي 01919770517 


محور السينات ويقطع جزءاً طوله ؟ وحدات من المحور الصادى 

الموجب ٠‏ النقطة ( 2٠0.0‏ لا تحقق المتباينة ( لأن ٠‏ يم *) 

.. مجموعة الحل ذه المتباينة يمثلها نقاط المستقيم لا نصف 

المستوى الذى لا تقع فيه نقطة الأصل 

مخ 2( زكر 

٠ذى]‏ >"8(ه)+(0)-0 

1-0 0 

القيمة العظمى لدالة الحدف - ١؟‏ عند النقطة ( 25 *)» 

القيمة الصغرى لدالة المدف - 5 عند النقطة (20*) 
مثال (07) 

باستخدام البرمجة الخطية أوجد كلا من القيمة الصغرى والقيمة 

الكبرى للدالة : ع - س + ص تحت القيود: 


س > . .م ص .ا .م صل »> وس ع ى ص < ساس + / 


نقطة الأصل تحقق كلا 


.. مجموعة الحل تمثلها 
المنطقة المظللة 
ولتحديد إحدائى النقطة | | | | << |لل/ 
' 1 اح لل عمط لللا 
مكل العادنين 2د 


ا 1 1 ه /5 0 


ص ح- يس - ؟ 0 [11111طللم/ملللا 


ض ددس +م معاً 
بالتعويض من )١(‏ فى (2) : 


.. دالة المدرف: سس دس +اص 
م ناد (0)+(م)عم 
١٠١1‏ 5_5 
1 ]ى -(-نا) +(غا)-ك 
١<)0(+)١(- ]»[‏ 
[ء] -(0.)+(2)0. 
و 
القيمة العظمى لدالة الحمدف -8 عند النقطة )8٠١(‏ 
القيمة الصغرى لدالة المدف - ٠‏ عند النقطة )٠.0(‏ 


تطبيقات حياتية على البرمجة الخطية 

مثال (8) 
ينتج مصنع صغير للأثاث المعدنى © دولاباً أسبوعياً على الأكثر من 
نوعين مختلفين ٠‏ » ب» فإذا كان ربحه من النوع (1) هو ١‏ جنيهاً 
وربحه من النوع (ب) هو ٠٠١‏ جنيه ؛ وكان مايباع من النوع الأول 
لايقل عن ثلاثة أمثال مايباع من النوع الثانى . أوجد عدد الدواليب 
من كل نوع ليحقق المصنع أكبر ربح مكن . 

الحل 
نفرض أن عدد النوع الأول > س », عدد النوع الثافى - ص 
يكون: س >. . ص >. , س +ص <.؟ , س » عاص 
دالة المدف هى الربح (/) أكبر مايمكن : , - ١م‏ س + ٠٠١‏ ص 
ما و ا 5 
المشتركة فى التظليل للا 1 
دالة الهدف الربح أكبر 
مايمكن حيث : 
.م س + .اص 


تر | | لل للططل لكلا 
ال لل كنا 
الل ل لط لظلا 
اال مطل لط للا 
العم هيلا 
للحلا طلا 


[س] ١م‏ (ه) + ٠٠١‏ زه) .لا 
ش [ي] 2١م‏ )+ (٠١‏ دملا 
ى] حالم( +10( ده 
© لى يحقق المصنع أكبر ربح يجب أن ينتج ١١‏ دولاباً من النوع 
الأول » وخمسة دواليب من النوع الثانى. 

مكلف 
سلعتان غذائيتان تعطى الأولى " سعرات حرارية وبها ه وحدات 
من فيتامين سى » والثانية تعطى ١‏ سعرات حرارية وبها وحدتان 
من فيتامين سى . فإذا كان المطلوب هو 7" سعراً حرارياً على الأقل » 
8؟ وحدة من فيتامين سى على الأقل » وبفرض أن سعر الوحدة من 
السلعة الأولى 7 جنيهات ومن الغانية 8 جنيهات » فما الكمية 
الواجب شراؤها من كل من السلعتين لتحقيق المطلوب بأقل تكلفة 

الحل 

نفرض عدد السلعة الأولى - س » عدد السلعة الغانية - ص 
عدد السلع | النوع الأول (س) | النوع الثانى(ص) | الحد الأقصى 
السعرات يان 
الفيتامين 1 
الدكلفة 3 












































الرياضيات للصؤه الأول الثانوي - الفصل الدراسي الثاني الأمتاط القدير / علي الدين يحيي 01919770517 


سن > .ا .م صن > . ع اماس 54 صن > #0 الى وس + ؟ صن > 56 ا لمدف: 


2 دالة المدف : ى - 5 س + م ص اقل مايمكن 
س ٠>‏ ء ص ٠>‏ تعنى الربع الأول 
المستقيم الحدى المتصل ل, 


عاس + > ص ح وم 


ع ١‏ 
أى :ص - ه,5- م س 


المستقيم الحدى ل, : ه س + ؟ ص -ح ه؟ 














(00) لا تحقق المتباينة 
٠.‏ دالة الهدف : ي - 5 س + م ص اقل مايمكن 
. [»], 5 (») +3 (ه,ك) - ٠٠١‏ 
[ ]رن 5(؟) +0(8) 8ه 
[ى] >-2(5؟0 + م(0 دل" 
لتحقيق المطلوب بأقل تكلفة ممكنة يجب شراء " وحدات من 
النوع الأول» ه وحدات من النوع الثانى. 


)١(‏ أوجد مجموعة الحل فى ثم للمتباينة التالية بيانياً: 
؟س- ]وض > "5 

(؟) أوجد مجموعة الحل فى م اع للمتباينة التالية بيانياً: 
ص < ه 

(0) أوجد مجموعة الحل فى للمتباينة التالية بيانياً : 
ص > ؟ س - م 

() حل نظام المتباينات التالى بيانياً فى ح >< ح: 
س < 4 ام ص <اس + ,م س + وص »> - 

() حل نظام المتباينات التالى بيانياً فى م »ام : 

س + ا ض > 4 ,م واس خاض » ؟ ,م س لاص < ١‏ 
(1) مثّل نظام المتباينات التالى ثم أوجد النقطة التى تحقق دالة 
المرف: س +اص <ه . ص ١>‏ , س »© 
» دالة المدف: ع -؟س +«*ص أصغر مايمكن 
(0) مثّل نظام المتباينات التالى ثم أوجد النقطة التى تحقق دالة 





س > . .م ص > . . ص + مس < 1٠١‏ .م س + وا ص < ؟١1‏ 
٠»‏ دالة الحهدف : ى - ص + هس أكبر مايمكن . 

يبيع أحد محال المأكولات البحرية نوعين من الأسماك المطهية 
»ب » ولاتقل الطلبات من صاحب المحل عن 6٠‏ سمكة » 
كما أنه لا يستخدم أكثر من "١‏ سمكة من النوع »)١(‏ 

ولا يستخدم أكثر من 5" سمكة من النوع (ب)» فإذا علمت 
أن ثمن السمكة من النوع (7) هو ؛ جنيهات .ومن النوع (ب) 
هو ” جنيهات» كم سمكة من كل نوع يجب استخدامها 
لتحقيق اقل ثمن ممكن للشراء ؟ 

ينتج أحد مصانع الآلات الموسيقية نوعين من آلات النفخ » 
يحتاج تصنيع النوع الأول إلى 25 وحدة من النحاس » + 





وحدات من النيكل » ويحتاج تصنيع النوع الثانى ١5‏ وحدة من 
النحاس » 8 وحدات من النيكل » فإذا كانت الكمية المتاحة فى 
المصنع فى أحد الأيام 48 وحدة من النحاس» 2" وحدة من 
النيكل » وكان ربح المصنع فى الآلة من النوع الأول هو ٠‏ 
جنيهاً وربحه فى الآلة من النوع الثافى 48 جنيهاً » فما عدد 
الآلات التى يجب أن ينتجها المصنع من كل نوع حتى يحقق 
أكبر ربح ممكن ؟ 


الوحدة الثالثة : المنجهات 
١‏ -الكميات القياسية والكميات المنجهة والقطعة 
المستقيمة الوجهة 

© _الفرق بين الكمية القياسية والكمية المتجهة : 
الكمية القياسية : تتحدد تماماً بمعرفة مقدارها فقط مثل الطول 
والمساقة والسباحة 
الكمية المنجهة : تتحدد تماماً بمعرفة مقدارها واتجاهها مثل 
السرعة والقوة والإزاحة 
« الفرق بين المسافة والإزاحة : 
فى الشكل المجاور : 
المسافة بين النقطتين ؟ » ج : 
هى كمية قياسية - 0 ب+ بج 

د جب +بم 
الإزاحة من ؟ إلى ج هى المسافة بين نقطتى البداية والنهاية فقط 
وتكون فى اتجاه واحد من * إلى ج - 9ج 


ب ا 


ل 60». جر ا ذاع-ء 3ل. بثابناينا 









































الرياضيات للصذ الأول الثانوي - الفصل الدراسي الثاني 


مثال (1) 
تحرك شخص من النقطة ١‏ إلى النقطة ب 
ثم إلى النقطة ج ثم إلى النقطة ‏ ثم إلى 
النقطة ه . احسب المسافة والإزاحة الحادثة 
الحل 
المسافة - (ب+ بج + ج و + وه - " + 2 +" + ه - ١٠١‏ متر 


الإزاحة - 5 مترفى اتجاه ؟ ه 


ندرئيب 


بجو مربع طول ضلعه ؛ مترء تحرك شخص من إلى ب إلى ج 


6 القطعة المستقيمة الموجهة ال 1 


00 نقطة البداية . 
() نقطة النهاية . 
6 الاح شط لطا قط اه 


© ملاحظات : 

إذا كان ؟ب / جء ء ه د 6ب فإن: 

(6 عب - وج بينما ب + وج لاختلافهما فى الاتجاه 

(© 7ه . به متضادان فى الاتجاه ويحملهما مستقيم واحد 
(6© بج متضادين فى الاتجاه ويحملهما مستقيمان متوازيان 
© عمعيارالقطعة المستقيمة الموجهة : 

هوطول "ب ونرمز له بالرمز ||77 || 

حيث |77 || -||ب5 || دوب 

تكافؤ قطعتين مستقيمتين موجهتين : 

تتكافأ القطعتان الموجهتان إذا كانتا : 
(6 لما نفس الطول( المعيار) 
ه ملاحظات : 

() إذا كانت ٠‏ » ب» ج» ى أربع نقط لا تقع على استقامة 


(6© طمانفس الاتجاه 


واحدة وكانت ( ب تكافئ جد فإن الشكل بج متوازى 
أضلاع 

() يوجد عدد لا نهاق من القطع المستقيمة الموجهة الى يمسكن 
رسمها فى المستوى وكل منها تكافئ 7 ب . 

(9) توجد قطعة مستقيمة موجهة وحيدة يمكن رسمها من النقطة 
ج بحيث تكافئ قطعة مستقيمة موجهة ب . 


للأسقاطذ القدير / غلي الدين يديي 535:517ؤللله: 


3 متجهالموضع لنقطة معلومة : 
هوالقطعة المستقيمة الموجهة التى بدايتها نقطة 
النقطة المعلومة ونرمز له بنقطة واحدة مثل ؟ 
3) معيارمتجه الموضع : 
إذا كان 7 -(سء ص ) فإن || 7 || دراس'؟ +دص؟ 
مثال (2) 
7 د (م )واب د(ه )ءاج د(دنىو) 
ل" ال || + || لاج | . 
الحل 
|7”|| <مأ (")؟ + (4)؟ -ه وحدات طول 
|| ب" || دمأ (5)؟ + (12)؟ - ١‏ وحدة طول 
|| ج” || ما (8)' + (7)' - ٠١‏ وحدات طول 


© الصورة القطبية لمنجه الموضع 9" : 
هى الزوج المرتب ( || 7 || 00 ) حيث 0 هى قياس الزاوية الق 
يصنعها 7 مع الاتجاه الموجب لمحور السينات » ويكون : 
س - || ”|| جتا6 » ص - || 7" || جا 0 

مثال (8) 
أوجد الصورة القطبية للمتجه 7 -( مم8 ) 

الل 

|| دما مام" + زم" د مادم دى 


ل 0- حت م 0-فل”١‏ 


اس اماس هن 

















الرياضيات للصؤه الأول الثانوي - الفصل الدراسي الثاني الأمتاط القدير / علي الدين يحيي 019997370517 


7ح (جلاسة) 


مثال (4) إذا كان 7 - (-6,") , ب - )١-.4(‏ فأوجد 


إذا كان ج” > ( ؟1م؟», ه8٠‏ * ) فأوجد إحداثى نقطة ج . /؟؟ +» - | 
الكل الحل 
س - 16 م[؟ جا *86 - - 16 , ص - ؟1م[؟ جا 0م(" - ١١‏ »م + مب حع)(-06)+ م(4.- )١‏ 


> جد( ؟1) 


إذا كان (*.ءس)- ص (-١1.؟)-(4غ:.-0)‏ فماقيمة: س+آص 
الحل 
(*يس)+ (رصء-؟)- (4.-50) 
© (#+صوس-؟6)-(4.-و) 
٠‏ ##ا+خ#ص د) م ص ١‏ , سس لوح دام بم اس دام 
س لاص - دم )--1١4+‏ 
- إذا كان 7 - ( ل -١)ءت‏ - ( 4م + ل ) وكان 77 
٠‏ ملحوظة : المتجه الصفرى و ال عسي ا 2 0 
غير محدد الاتجاه. الحل 
متجهين جبريا : لعو م+؛ع- ١‏ م مع-رسنوع-ه 
؟: إذاكان 7 -(65.”)ء ب - (4؟١1١)‏ فإن : 3) منجه الوحدة : هو متجه معياره الوحدة . 


مي ا -(؟ + ك0 +١)-(5.؛)‏ 1 4 * هم ىآ 
ا مثل:( جح )2 ( ست .)2 
' 


ب > (؟.")-(4؛١)-(-."- (١‏ )- (د-دىى ؟) © انتهها الوحدةالاباسس) حت بت 

سم > )٠1(‏ وهومتجه موضع فى الاتجاه الموجب لمحور السينات طوله الوحدة 
)١٠١( - 2‏ وهومتجه موضع فى الاتجاه الموجب لمحور الصادات طوله الوحدة 
3 التعبير عن المنجه بدلالة منجهى الوحدة الأساسيين : 
مثلاً: 77-(524)-؟ سم + م صم 


ية جمع المتجهين هى عملية إبدالية داجة : 


لمحايد لكين هاه لسرن 1 درت ٠:‏ ): 


دواع و +7 طد 


المعكوس الجمعى للمتجه ٠"‏ هوالمتجه - 5 , جن وده عن احف جد 


صرب مع ل ع تي الى م -(4.-1)-س- صم 
إذا كان 77 -(زل:” ).كل دع فإن: ك ٠‏ < رك لعل ”) 


مثال (5) 


0 -))--و صم 2ه -(2).020لاسم 
للم لله ِ حاالث 
إذا كان " -(5.-١)ء‏ ب -(-غعء؛)فأوجد " ||أأوجد بدلالة متجهى الوحدة الأساسيين المتجه الذى يعبر عن كل من 
الحل )١(‏ إزاحة جسم مسافة 6" سم فى اتجاه الجنوب 
دم( دن لردي) ()) قوة مقدارها "٠0‏ ث كجم تؤثر على جسيم فى اتجاه 7٠‏ شمال 
-م) +( -؟) د (م-ه) الغرب 





























الرياضيات للصذ الأول الثانوي - الفصل الدراسي الثاني 


. الصورة الإحداثية : 7 -( 6" جتا ١ا؟:‏ 6" جا 57١‏ ) 
-(0.-80) 02م صم 
() نفرض أن متجه الموضع للقوة ب ٠‏ 8.0-60١-.م‏ - .وا 
.. الصورة القطبية "ب )*١5:5.0(-‏ 
. الصورة الإحدائية "ب" - ( ٠١‏ جتا :70:16 جا ١15١‏ ) 
د سام .0 ) دعام سر + .م صم 
أوجد بدلالة متجغى الوحدة الأساسيين المتجه الذى يعبر عن قوة 
مقدارها 6٠‏ نيوتن تؤثر على جسيم فى اتجاه الشمال الغربى 


3 ميل المتجه ( سء ص ) - حت 
93 _شرط توازى متجهين : (/, - م ) 

ميل المتجه الأول > ميل المتجه الثاى 
6 شرط تعامد متجهين : (*, < م )١-<-‏ 

ميل المتجه الأول - - مقلوب ميل المتجه الغانى 

مثال (8) 

إذا كان 7 -(؟.4)ء بد (م؟)ء ج د(4ءسم): 
(أولاً) أوجد قيمة + إذا علمت أن 29 ل ب" . 


( ثانياً) إذاكان 5 / ج فأوجد قيمة له . 


للأسقاطذ القدير / غلي الدين يدبي 535:517ؤللله: 


مثال (9) 
إذا كان 77 -(925)ء أب دل (ىم) 


أذكر العلاقة بين 7 » ب ثم أوجد قيمة ك 


(ت4و)د(كلكء ل ك) © ددعل © ل ددم 


نارين (5) 
(0 إذاكان 277( هدع ابد (دس )جد (4..) 
أوجد : 00 |71 + ماب || © | 7 ساب + ج | 
() أوجد قيم م :٠ه‏ فى كل مما يأ : 
60 *«(؟ءس)+؟(ص.؟)-(0..؟) 
6 سس(" ,ص)- دس ٠+‏ صم 
© (س-ع,ه)-(4.؟ثس -دص) 
5) إذاكان 77 -(م,”")ء ابد (مام)ء 
أوجد قيمة كل من : / » له 
() إذاكان 277 (مم)ءاب “د رس ود)ء ررب 
ماقيمة م ؟ 
(0) إذاكان 77( ؟)ء ابد( م)ء لاب 
فماقيمة م ؟ 
(1) إذاكان 277( هدم أب“ د (دس )جد (4..) 
أوجد المتجه 5" الذى يحقق ؟ 776-75 ماب + مج 
(0) أوجد الصورة القطبية لكل من المتجهات الآتية : 
© و5 د(ى؟سام) 
© أب دباما؟ سم -لام[؟ صم 
(8) أوجد بدلالة متجهى الوحدة الأساسيين المتجه الذى يعبر عن : 
(7) سرعة منتظمة مقدارها "كم / ساعة فى اتجاه الشمال 
(©) قوة مقدارها 7١‏ نيوتن تؤثر على جسم باتجاه 7٠‏ شمال 
الشرق 
(ج) إزاحة جسم مسافة ٠0‏ سم فى اتجاه *”* جنوب الشرق 






































الرياضيات للصؤه الأول الثانوي - الفصل الدراسي الثاني الأمتاطا القدير / علي الدين يحيي 01919770517 


العمليات على المنجهات مثال (8) 
© جمع المتجهات هندسياً : ب جك متوازى أضلاع فيه ه منتصف بج أثبت أن : 
أولآ : قاعدة المثلث لجمع منجهين : : آب +او دوج - 6زم 
إذا كان نهاية المتجه الأول هى بداية للمتجه الغانى : 


إذا كان لمتجهان ما نفس تقطة البداية : 
41 ع |[الإثبات ان الشكل الرباعى شبة منحرف نثبت أن فيه ضلعين 
متقابلين متوازيان وغير متساويان فى الطول 
مثال (4) 
ا ش « بج شكل رباعى فيه بج -؟5 5 أثبت أنه شبة منحرف 
إذا كانت م منتصف بر 


سكم 


فإن: مب +زى -6م م 


/ بجع؟(زو أىأن:بج+ءو 
مثال (6) | ٍْ 
2 : (00؟) ينتج أن الشكل ١‏ بج شبة منحرف 
فى أى شكل رباعى بج أثبت أن : ( ج + ب - ب من (2(2)1) ينتج أن مسحط 
©التعبير عن القطعة المستقيمة الموجهة ١ب‏ بدلالة متجهى 


لإثبات أن الشكل الرباعى متوازى أضلاع نثبت أن فيه ضلعين 
متقابلين متوازيان ومتساويان فى الطول . 

أثبت أن الشكل ؟ب ج عه الذى فيه :؟ (؟.-١).‏ ب(/ا١١)‏ 
(+٠‏ 124 )»4 (-1١2؟‏ ) متوازى أضلاع . 

















الرياضيات للصذ الأول الثانوي - الفصل الدراسي الثاني 


الحلن 
7 -(ا١1)-(.-0(2)1؟)‏ 
-(4.4)-(-1؟)220(2) 
© الشكل ٠‏ بجء متوازى أضلاع 


لإثبات أن الشكل الرباعى مستطيل : نثبت أنه متوازى أضلاع وفيه 
ضلعان متجاوران متعامدان. 
مثال(1) 
بجءى شكل رباعى فيه .)٠.9( ٠‏ ب+(1:8).+(20؟)ء 
6 (2-2:1). أثبت أنه مستطيل ثم 
لخن 
7 -(4244)-(و..)ع(-1؛) 
ىو -(0.؟)-(1.-؟)-(-1.1) 
© الشكل ٠‏ بجو متوازى أضلاع 
2 در ؟)-(ى2؛)-(-ن-؟) 


١‏ حك حك 
بج دحم حم 8آب بج 


||( ب ]دما +١‏ د دما باكر |إجج ]|| دما كد ؛ دما م5 
> مساحة سطح المستطيل -ء| ١7‏ << مأ 74 - 6" وجدة مربعة 
٠‏ ملاحظة (©) : 
لإثبات أن الشكل الرباعى معيّن : نثبت أنه متوازى أضلاع وفيه 
ضلعان متجاوران متساويان فى الطول . 

هثال 00 
أثبت أن الشكل ١‏ ب جه الذى فيه : ؟ ( 4.7 )ء ب(١1.-١)ء‏ 
ج(-4.-م), و (-», ؟ ) هو معيّن 

الحل 
(-)١-.١‏ 8 4؛)-(-»2.-ه) 


ب د( دى -8)-( ١-1‏ )ع (د-ه- 2) 
1ب | دعاء+ 6 دماةك . |إجج ]| دماة؟ + دما 
> لبح بج © الشكل ٠‏ بجع معيّن 
٠‏ ملاحظة (0) : 
لإثبات أن الشكل الرباعى مربع : نثبت أنه متوازى أضلاع وفيه 
ضلعان متجاوران متعامدان ومتساويان فى الطول . 


للأستاطذ القدير / غلي الدين يديي 537:517ؤللله: 


مثال (4) 
أثبت أن النقط ١:‏ (١21”*)ء‏ ب(5غ١).+(4غ.-؛)‏ 
(-2-21) هى رؤوس مربع ثم أوجد مساحة سطحه. 
الحل 
اام ا ل عد 
-(4.-؛)- دن »)2 (ه,-؛) 
ولس اس م 
ا 


ه. للم سكك يعي 


الشكل ٠١‏ بجدءى 00 
لب ]|| دما هج دما فىء |إبج | دما ؛+ه؛ دما و 


:. الشكل ٠‏ ب جه مربع 
> مساحة سطح المربع -مآ 29 ا مأ 29 - 29 وجدة مربعة 


6و ب- بج 


لإثبات أن المثلث ؟ بج قائم الزاوية فى ب : 
نثبت أن ب7 ل بج 
مثال (9) 

إذا كان : ؟ )٠.5(‏ ب(؟.-4).ج(-4ء ؟ ) فأثبت أن ه ١‏ ب 
ج قائم الزاوية فى ب . 

الحل 
-(؟.-4)-(025)- (-4.-1) 
-(-224)-(1-2.2)-(-545) 


للككم 
١‏ 
للك 
ب 


دم ددا 


إذا كانت ٠:‏ (2»8؟).ب+(*.-١),.+(4.0)هى‏ رؤوس متوازى 
أضلاع فأوجد باستخدام المتجهات إحدائى النقطة , . 

















الرياضيات للصذ الأول الثانوي - الفصل الدراسي الثاني 


ود (لنى؟)-()+(ى )د( 7) 
مثال (12) 
؟ بجك متوازى أضلاع فيه :؟( سء ))ء ب(2.1-١)‏ 
»+(-4.-8).وى(؟ءص) أوجد قيم س . ص 
الل 
الشكل ؟ بج: متوازى أضلاع 
7 -(1.-١)-(سء1)ة(١1-سء-ه)‏ 


-(؛.-؟)-(؟ءص) 


م 
م 


(١-دس,‏ ه)ح إلى معي ص) 
ددس ةد م س دلا 
»4 6< ب لاض »م صض >-؟ 
)000( محصلة عدة قوى 5م - قم + قم ++ 
(؟) إذا أثرت قوتان على جسم وكانتا متساويتان فى المقدار وهما 
نفس خط العمل وفى اتجاهين متضادين فإن القوة المحصلة 


للك لك 
٠‏ 


ححا 


(5) إذا كانت محصلة عدة قوى متلاقية فى نقطة واحدة - ٠‏ 

فإن مجموعة هذه القوى تكون متزنة 

إثال 010 

إذا أثرت القوى: 5 -؟ سم +8 صم ء قم حاسم +5 صمء 

- -ه صم فى نقطة مادية . احسب مقدار واتجاه محصلة هذه 
القوى حيث أن القوى مقاسة بالنيوتن . 

الل 
م 


1 -(6+١)سم+(م+ه-هو)صم‏ 
مقدار المحصلة - || 5م || -مأ ()' + (4)' - ه نيوتن 
اتجاه المحصلة 0 - ظا ١‏ (2) -ى”/ 0 


«السرعة النسبية: 
السرعة لاسي ة سم (4) بالدسية إل عت آخر (0)ك عون 


'[- 5-2 ] حيث: 75 السيعة افعلية لهس » 


٠‏ عب السرعة الفعلية للجسم ب 


للأسقاطذ القدير / غلي الدين يديي 535:517ؤللله: 


ال 0 
تتحرك سيارة على طريق مستقيم بسرعة 4٠‏ كم / س . إذا تحركت 
دراجة بخارية ( موتوسيكل ) بسرعة ١٠؛‏ كم / س على نفس الطريق 
. فأوجد سرعة الدراجة البخارية بالنسبة للسيارة عندما: 
(6 السيارة والدراجة يتحركان فى نفس الاتجاه . 
(©) السيارة والدراجة تتحركان فى اتجاهين متضادين . 

الكل 

باعتبار ى' الاتجاه الموجب فى نفس اتجاه السيارة 
© السرعة الفعلية للسيارة - ع -50 ى” 
السرعة الفعلية للدراجة - عن -0) ى” 


سه 


© كيم دعن دع ععاى يلاق دلواي 


راكب السيارة يشعر أن الدراجة تتحرك نحوه بسرعة 50 كم / س 
© السرعة الفعلية للسيارة - 2 - 50 ى” 

السرعة الفعلية للدراجة - عن )٠0--‏ ى” 
> عي عع دعرد وى فيوى) عطراى 


راكب السيارة يشعر أن الدراجة تتحرك نحوه بسرعة 1١‏ كم / س 


القوى : قم -(7.0 )قم - م سم + ٠8‏ صم 
فم - »سم -/اصه فى نقطة مادية ومقاسة بالداين. 
أوجد مقدار محصلة هذه القوى واتجاهها . 


() أكمل: 
© إذا كانت : ع - 7٠١‏ 


© إذا كانت : 7٠-8‏ 


ى 6غني<اى 
ى 


6غن> ١ل‏ ى 


() تتحرك سيارتان ؟ ٠‏ ب على طريق مستقيم » الأولى بسرعة 
٠‏ كم / سء والشانية بسرعة ٠٠١‏ كم / س فى الاتجاه المضاد 
لحركة السيارة ؟ . أوجد سرعة السيارة ب بالنسبة للسيارة ؟ 
(9) إذا كانت القوى : 


حت دحل تار ححه حتلا 
ىو -<لاس, ه صم »ثم -م س, + 8# صم ً 


فم -- )سم + ( ب-8 ) صم تؤثرفى نقطة مادية فأوجد 
قيمتى : * » ب إذا كانت : 

(أولاً) : محصلة مجموعة القوى تساوى: ) سم لا صم 
(ثانياً) : مجموعة القوى متزنة . 





ل 60». جر ا ذاع-ء 3ل. بثابناينا 




















الرياضيات للصؤه الأول الثانوي - الفصل الدراسي الثاني الأمتاط القدير / علي الدين يحيي 01919770517 


(© إذا كان 7س وى ب زلا لاك)ء 7 راب 
© إذاكان 7 -(5؛١)ء‏ 7 ب -(5؛16) فإن ب - 
© إذاكان ؟ (*م)ء ب(-م..) فإن || 7ب | - 
(5) إذاكان؟ (ى2؟)ءب(4.-؟)ءج(-؟5.٠)ء‏ و (كعءك) 
وكان !م ا بج فأوجد قيمة ل . 
(00) بج فك : و3 بج بحيث بو - هوج 
أثبت أن : ه ٠ج‏ + م( ب دمي 
٠ )8(‏ بجء مستطيل ١:‏ (-١.-؟),ب(5؛غ٠١).ج+(*ءيك)‏ 
() إحداثى نقطة ء 


أوجد : قيمة لك 


الوحدة الرابعة : الهندسة التحليلية 
-١‏ تقسيم قطعة مستقيمة 
3 أولاً : التقسيم من الداخل : 


إذا كانت ج تقسم؟ ب من الداخل بنسبة ل, : ل , فإن 


للك سلكه 
سه لدم +لوى» 


0 ( تسمى الصورة المتجهة ) 


لض +ل, صم 
لو +لء, 
( تسمى الصورة الإحداثية أو الصورة الكارتيزية ) 


5 ل ل 
ثيه : ند الح 5 كم 


( ترضح لم 
لو +لء, 


خسن 
إذا كانت :؟ ( 204 ).ب8(7:-75) فأوجد إحداثى النقطة ج 
الى تقسم 7 ب من الداخل بنسبة 8:١‏ 

الكل 
ل :ل »:١-‏ > ل <١ء‏ ل, -5 ( تسمى نسبة التقسيم) 


0 هه *«ا(4ء؟) +ا«ا(مء -) 002" 
١+ *‏ 


( درزه٠)‏ 
حل آخر: 


*اعاع + كام « 
١#‏ 


* ا ؟ +١اهكاا”-‏ 


م ا 


ا 
)02 


© ثانياً : التفسيم من الخارج : 
إذا كانت ج تقسم 7 ب من الخارج بنسبة لل 
فإننا نضع إشارة سالبة على إحدى حدى نسبة التقسيم ونكمل 
مثال (5) 
إذا كان ؟ -(21؟)ء ب-(8.-0) فأوجد إحداثى النقطة ج 
6 بنسبة 14:” من الداخل 
9 بنسبة :”5 من الخارج 
الجن 
() التقسيم من الداخل : 
لء, - 24 ل, و 2 3 درك ؟) 2 3 درم ه) 
مه #(201)+:(مء-ه)_(ه"-؛١)‏ مرحنا 
+ع 7 
9 ل, 4ل حلمم 0 3 درى؟) 2 3 -رم.-ه) 


مه -#(1»؟)+:(28-ه)_(وى-5)) 
9 0 نم نق عت 


تدريب 


إذا كانت -(,.-_؟), ب (-١ءه‏ ) فأوجد إحداثى النقطة ج 


الى تقسم 77 بنسبة ؟:" عندما يكون : 

© التقسيم من الداخل (© التقسيم من الخارج 
الحل 

© التقسيم من الداخل 


جه اج لايم رمد 5200 
+ - حل ( تسمى الصورة المتجهة ) لحب 


سو +سم>)> صا هدص 
» ج>-( 0 0 ا 


( تسمى الصورة الإحداثية أو الصورة الكارتيزية ) 









































الرياضيات للصؤه الأول الثانوي - الفصل الدراسي الثاني الأمتاط القدير / علي الدين يحيي 01919770517 


مثال (0) مثال (0) 
إذا كان +( 5غ ) منتصف 7 7 حيث ‏ ( سء؛ )ء ب(١ءص‏ ) ||| إذا كان : ؟ (5»")ء ب(-2١١)‏ أوجد النسبة التى تنقسم بها ؟ ب 
أوجد قيمة كلا من س . ص . بنقطة تقاطعها مع محور السينات ثم أوجد إحدائى نقطة التقسيم . 
الحل الحل 


. رم لمعك (مس) نفرض أن +( سء ١‏ ) هى نقطة تقاطع 7 ب مع محور السينات 
0 


محنكه 
ج منتصف ب 
> ؟(؟5غ.؛) (س+ ىعو +ص) 
© (864م) (س + ل و+ص) 
س +١ع)‏ م س2" الى )مص -م م ص 2) 
َك 
تدريب 32 ج تقسم ١‏ ب من الخارج بنسبة ١:*‏ 


إذا كان ” ( 206 » ب(-2»4 ) فأوجد إحداثى النقطة ج الى 1“ كا دع عا مد وو 


ْ مثال (3) 
أثبت أن النقط : ؟ »١(‏ )» ب(”.-؟) ج(-8١1)‏ تقع على 
استقامة واحدة. 
الحل 
إذا كان :؟ (1+؟).ب+(8.-ه)ءج+( 5-649 ) فأوجد النسبة 
الى تقسم بها النقطة ج القطعة ( ب . 
الحل 
بفرض ذسبة التقسيم > ل, : ل, 
2.3 2- 
ف وعد ندر ؟)+ل,( ( 
ل +ل, 
ل + قل 
> ل -وال ع وال دول > -شكل كلم () إذا كانت ذسبة التقسيم سالبة فإن 
ا (© إذا كانت نسبة التقسيم موجبة فإن 


ا رض © إذاكانت ٠(؟.-ه).,ءب(825)ذ‏ 


5-2 © ل +5508 ل تال 


إن منتصف ( ب 
. ج تقسم 7ب من الخارج بنسبة ؛ : * 222000 
تدرييا (© إذاكانت ؟ (-",/)ء ج(76)ء وكانت ج تنصف 8ب 
إذا كان :؟ (١1؟).ب+(8.-ه)ء‏ +( ه.- ؟) فأوجد النسبة فإن إحداثى ب - (..... .......) 
التى تقسم بها النقطة ج القطعة ( ب . () إذا كانت 8 -(5.ه)ءب-(17.-١)ء‏ أوجد: 
69 إحداثى + التى تقسم 7 بنسبة*:؟ من الخارج 
© إحدائى . التى تقسم 7 ب بنسبة 4:” من الداخل 
(5) أثبت أن النقط : * ( 5.2 )ب( 20 ؟)ء ج(4».") تقع على 
استقامة واحدة ثم أوجد النسبة التى تقسم بها ج القطعة 
المستقيمة ؟ ب مبيئاً نوع التقسيم 
(4) إذا كانت 22١-(:)4-8( ٠‏ ) فأوجد إحداثى النقطتين 
اللتين تقسمان ١‏ ب إلى ثلاثة أجزاء متساوية فى الطول . 


5 دار م 5 ».صم | ذاع 3ل . بنانناننا 






































الرياضيات للصؤه الأول الثانوي - الفصل الدراسي الثاني الأمتاط القدير / علي الدين يحيي 01919770517 


؟ - معادلة الخط المستقيم 
© تذكرأن: 
أولا : الصورة العامة لمعادلة الخط المستقيم هى : 


س + بص لاج -د. 2 ميل هذا المستقيم - / - 


ثانياً : ميل الخط المستقيم : 

: إذا كان المستقيم يمر بنقطتين معلومتين فإن‎ )١( 

فرقالصادات _ ص,م-صى, 

فرقالسينات ' سم-سيى 

() إذا كان المستقيم معادلتة على الصورة ص - 8س + ج 
فإن ميله -؟ 

(9) إذا غلم قياس الزاوية التى يصنعها المستقيم مع الاتجاه الموجب 
لمحور السينات (ه' مثلاً ) فإن ميله - م - ظاه 


- معامل س 
معامل ص 


(؛) ميل محور السينات أو أى مستقيم يوازيه - صفر 
(5) ميل محور الصادات أوأى مستقيم يوازيه غير معرف 
© ملاحظة هامة : 

إذا كان ى” - (0,:ب) متجه اتجاه لمستقيم ما فإن ميل هذا 


3 الصور المختلفة لمعادلة الخط المستقيم : 

() المعادلة المتجهة هى :| سي قم دل ى” 
حيث قل نقطة تقع عل | لمستقيم 3 متجه اتجاه للمستقيم 
- (سويص)- (سبءص,)+ك(0ءب) 


(9) المعادلات البارامترية هى : 


سس + ك" 2 ص - ص , + ك ب 


( ويسميان هاتان المعادلتان ايضاً : المعادلتان الوسيطتان ) 
(") المعادلة الكارتيزية هى : 
(0) بمعلومية الميل ونقطة معلومة : 
( ص ص )-م(س- س ) 
(©) بمعلومية الميل وطول الجزء المقطوع من محور الصادات : 
ص ح مس + ج 
() بمعلومية طولى المجزءين المقطوعين ! » ب من المحورين : 
ص 


(؟) متجه اتجاه العمودى للمستقيم : 
إذا كان ( 8 »ب) متجه اتجاه للمستقيم فإن :ك ( ب.- ) أء 
ك(<دب١,‏ ) هم عائلة متجهات العمودى على المستقيم 


مثال (1) 
اكتب المعادلة المتجهة للمستقيم الذى يمر بالنقطة (-14.*) 
ومتجه الاتجاه له ( 0.5 ). 
الجن 
المعادلة المتجهة للمستقيم : م -(-24") +ك (5.2) 
مثال (5) 
اكتب المعادلتين البارامترين للمستقيم الذى يمر بالنقطة )٠.0(‏ 
ومتجه الاتجاه له هو ١»١-(‏ 2 ). 
الجن 
المعادلة المتجهة للمستقيم : م - (0.ه) +ك (-121) 
»> سع لك . ص + وك (العادلتان البارامتريان ) 
مثال (1) 
أوجد المعادلة الكارتيزية للخط المستقيم المار بالنقطة ( 1-5 ) 
ويصنع زاوية قياسها 45" مع الاتجاه الموجب لمحور السينات . 
الجن 
م- ظاه؛ ١<-‏ > المعادلة الكارتيزية هى : ص + ؛ - (١‏ س- " ) 
أى : س- ص ٠ - ١-‏ ( وهى المعادلة العامة للمستقيم ) 
تدريب 


أوجد الصور المختلفة لمعادلة المستقيم المار بالنقطة )٠0*(‏ وميله 


إذا كان ى -(7201 ) متجه اتجاه للمستقيم فإن جميع المتجهات 
التالية عمودياً على المستقيم عدا المتجه : 
”)دن 2( 2:-5):(-124) 


3 
الجواب : كلهم ماعدا المتجه »١-(‏ 0 





».صر اداع -03. بارا 


























الرياضيات للصذ الأول الثانوي - الفصل الدراسي الثاني 


مثال (0) 
إذا كان المستقيم المار بالنقطة وه( 5.-”) ل المتجه(-١2؟)‏ 
فأوجد : 

6 المعادلة المتجهة 
(2) المعادلة العامة. 


© المعادلتين البارامترين 


الكل 
متجه اتجاه المستقيم هو :'ى" )1١5(-‏ 
المعادلة المتجهة : م" - (6,.-") +ل (؟؛١)‏ 
المعادلتان البارامتريان: س ح ؟ + 2 ك ,م» ص ع _”“+ل 


المعادلة الكارتيزية : ص - ص, - م( س- س, ) 


ح ص +م -ط (س-6) حم موص +5 دسم 


حه س_وحص-م -. (العادلة العامة ) 


مثال (3) 
اكتب معادلة المستقيم الذى فيه ( "2 ) متجه العمودى عليه 


ويقطع جزءاً طولة ه وحدات من محور الصادات فى الاتجاه السالب. 


الحلن: 


متجه اتجاه | لمستقيم - (5-؟) © مآ 


معادلة المستقيم هى : ص ع- ‏ سه 
أى: ؟ ص - م س اه حم ماس + مص + 6 دء. 
اكتب معادلة المستقيم الذى فيه (-١2؛‏ ) متجه اتجاهه ‏ ويقطع 
جزءاً طولة ه وحدات من الاتجاه الموجب لمحور الصادات . 


الحل 


مثال (07) 


أوجد طولى الجزأين المقطوعين من المحورين بالمستقيم : 


كس "ماص - ؟١‏ 


.. طولا اليزأين المقطوعين من المحورين السينى والصادى هما 


للأسقاطذ القدير / غلي الدين يديي 535:517ؤللله: 


مثال (8) 
أثبت أن المستقيمين : س ‏ ) ص + ٠ - ١‏ 
متعامدان ثم أوجد معادلة المستقيم المار بنقطة التقاطع والنقطة 


» وس لاض + هو 2 ٠.‏ 


من (١):س‏ - ص ؛١‏ () ثم نعوض فى (2) 


© و(واضص-)١)+ص‏ +هوح. م باص وه دص + هو -د. 
لاص -١اه‏ > ص -” ونعوض فى (©) > اس -- 
نقطة تقاطع المستقيمان هى (- 5 ”) 


0 معادلة المستقيم المار بالنقطتين :)”25-(:)١١5(:‏ 


() أكمل مايأق : 
() المستقيم الذى يصنع زاوية قياسها 5؛* مع الاتجاه الموجب 


) 6 لمم ) » وميل العمودى عليه - 000 
© المستقيم الذى معادلته : ي” - (#,؟) +ك (5:-0) فإن 


ال 2 ( » ومتجه اتجاه 


وشرط تعامدهما هو 1252527 

(5) المستقيم: س -# + ؟ل ؛. ص - ؟- وك يمر بالنقطة 
) 0 .......)ء ومتجه اتجاهه هو ( ...... » 0 

إذا كانت النقط : (4١1)١(؟ء‏ ص )ء(767) تقع على 
استقامة واحدة فأوجد قيمة ص. 

() إذا كان ميل المستقيم (5-1١(‏ )س + مم ص +0 -. 
يساوى ؟ فأوجد قيمة ' . 

(») أوجد الصور المختلفة لمعادلة المستقيم الذى : 





2 600». جر ا داع -ء 3ل. بثابناينا 














الرياضيات للصذ الأول الثانوي - الفصل الدراسي الثاني 


6 دنا 
© يمربالنقطة (؟١١)‏ وم كك 

(ج) يمر بالنقطة )١-.5(‏ ومتجه اتجاهه هو(-١2؟)‏ 
(5) يمر بنقطة تقاطع المستقيمين : 


؟س + ص لا ح . , ساس ؟ ص - ٠‏ وميله - -م 


؟ - قياس الزاوية بين مستقيمين 
إذا كانت ه هى قياس الزاوية بين المستقيمين ل »لء, اللذين 


أوجد قياس الزاوية الحادة بين المستقيمين : 
»-؟) + ل (م-١()‏ 08 ؟س ناص + 6 2 ٠.‏ 
الحل 
الك ١‏ دسم - ١‏ عق الغاؤ دم - 


ماد 
٠. 5‏ 


دده ) دظا أ لاعءه/ لم* 
© ملحوظة : إذا عُلم أن أحد المستقيمين ميله - صفر فإن 
ظاه - القيمة المطلقة لميل المستقيم الآخر. 
متالك 
أوجد قياس الزاوية الحادة بين المستقيمين : 
6ص م م ساس + ص ده 
لخن 
ميل المستقيم الأول > م ٠ ٠-‏ ميل المستقيم الغافى - م -- م 


م 


م 01م 


-م (أوظاهع|-م|د") 


ا+ حك 


للأمتاطذ القدير / علي الدين يحيي 121977:717: 
تدريب 
أوجد قياس الزاوية الحادة المحصورة بين المستقيمين : 
د لا ) +( -1) ل دردحى) + ك1 
0 
2 ميلا لمستقيم الثانى 1 


« ملحوظة : عند استخدام قانون الزاوية بين مستقيمين لإيجاد 
قياس زاوية داخلة لمثلث يجب أولاً تحديد نوع الزاوية 
( حادة - قائمة - منفرجة ) . 
9 لتعيين نوع المثلث حسب زواياه : 
)١(‏ إذا كان مربع أكبر ضلع > مجموع مربعى الضلعين الآخرين 
فإن المثلث منفرج الزاوية المقابلة للضلع الأكبر 
() إذا كان مربع أكبر ضلع > مجموع مربعى الضلعين الآخرين 
فإن المثلث قائم الزاوية المقابلة للضلع الأكبر 
(») إذا كان مربع أكبر ضلع < مجموع مربعى الضلعين الآخرين 
فإن المثلث حاد الزوايا 
مثال (*) 
تبج ك فيه: ١‏ (20.؟)ءب(8؛١),‏ ج(-4.-١).أوجد‏ 
قياس < " ثم أوجد مساحة سطح المثلث لأقرب رقمين عشريين . 
لحن 
7 -("1)-(1-0(2)220) 


م 
20-5 + د 
١ --(-‏ )-(..؟)-(- -م) 


-)١١3(-)١-‏ (-ه.-؟) 


2-7 


لله ؟ له ؟ جه 5 2 5 
|| + |" || 51 |" + || ٠ج‏ | > ح" زاوية منفرجة 


علط > س2 ) دود مه 
ب 

لاحظ إننا طرحنا الزاوية التى ظهرت على الشاشة من 7١8١‏ وذلك 

للحصول على الزاوية المنفرجة . 


تنا التعخال | زفداكت تاك اتنا زمه )لسسع 























الرياضيات للصؤه الأول الثانوي - الفصل الدراسي الثاني الأمتاطذ القدير / علي الدين يحيي 01999770517 


١-6 0 1‏ 
مساحة سطح المثلث - م <” ب»ا م ج كا جا ؟ 


- 1 »ا ٠١‏ م1 »ا جا 16/ د وار 
تدريب 
بج ل فيه:* -(-8,-؟١),‏ بح زه ")ء جح (- 25 )ل 


نصفت 8 ب فى ى أوجد قياس الزاوية الحادة بين جئء ب5 . 


إذا كان قياس الزاوية بين المستقيمين : ” - (؟؛١)‏ +ك (ه.*) 
»لوس اصح 4 يساوى 45* فأوجد قيمة * . 
أخق 


3 1-0 03 ه-ه)* 


إذا كان ظل الزاوية بين المستقيمين : 
س +ل ص + م -. , ص ؟س ”م يساوى ١‏ فأوجد قيمة ك . 


+ - طول العمود المرسوم من نقطة إلى خط 

مسلنبيم 
© طول العمود ( ل ) المرسوم من النقطة 
(س,ء ص ) إلى الخط المستقيم الذى 


(سء ص ) 


معادلته :( س + بص + ج - ٠.‏ 
نحسبة من القانون : 0 
مس, اب ص,/ لاج 

طول العمود ( ل ) - الت 
م؟ بب؟ 
مثال (1) 
أوجد طول العمود المرسوم من النقطة ( *.ه ) إلى الخط المستقيم : 
ماس + )ا ص - و - . 


الحل 


5 اند كا مطااك عن 8 8,؛ وحدة طول 


طول العمود 
|5" +42" 


تدريب 


أوجد طول العمود المرسوم من النقطة (4.-ه ) إلى الخط المستقيم 


: إلى المستقيم‎ ) ٠٠٠ ( طول العمود المرسوم من نقطة الأصل‎ )١( 
- 
إذا طول العمود المرسوم من نقطة ما إلى خط مستقيم ما‎ )( 
. يساوى صفراً فإن النقطة تكون واقعة على المستقيم‎ 
| (؟) طول العمود المرسوم على محور السينات > | صم‎ 
مثلاً : طول العمود المرسوم من النقطة ( *:- ) إلى محور‎ 
السينات - | -ه | - ه وحدات طول‎ 
| طول العمود المرسوم على محور الصادات > | سر‎ )4( 
مثلاً : طول العمود المرسوم من النقطة ( 8 -ه ) إلى حور‎ 
الصادات - | "| -8 وحدات طول‎ 


م س + باص + ج > ٠.‏ يساوى 


(5) البُعد بين مستقيمين متوازيين هو طول العمود المرسوم من 
نقطة د أحدهما إلى المستقيم الآخر. 





0».قصر اداع -03. بإرابرانىا 


























الرياضيات للصؤه الأول الثانوي - الفصل الدراسي الثاني الأمتاطذ القدير / علي الدين يحيي 01919770517 


مثال (2) 
أوجد طول العمود المرسوم من نقطة الأصل إلى المستقيم : 
؟ ص - لا دء. 
الحل 


“| - ه,” وحدة طول 


قدو - 
55 


تدريب 
أوجد طول العمود المرسوم من النقطة ( ؟.- ه ) إلى المستقيم : 
ع - (- ل ) +ك (كءه) 

الخل 


هو ف عر 6 


ل لاس دوع ادال ١‏ #اسخوص جراك 


متوازيان ثم أوجد البعد بينهما. 


7 
00 


بوضع س > ١‏ ف المستقيم الأول .. ا١دواص-لاد.‏ 
وض )ح. ناوص 2د ) حم ص ١--‏ 

3)١1-1( ..‏ المستقيم الأول © البعد بين المستقيمين 
- طول العمود المرسوم من النقطة ١-2١(‏ ) إلى المستقيم 
+«س ‏ ع س ٠ -1١+‏ وليكن (ل) حيث : 

57 قدا كد لحن 9 


|(" +(-ع)؟ 


0 


1 
3 ١ 


2 .. المستقيمان متوازيان 


4د 5 
8 - 6,” وحدة طول 


تدريب 
إذا كان المستقيمان : ل, :م >-(0.؟) +ك (25؟) 0 
2“ عزعيعم) وك زعام ) معواؤيان فأوجد البعنا بيتهما: 
الكل 
( .....»..... ) 3 المستقيم الأول » المستقيم الثافى معادلته هى : 


(سيص)-(؟5.-"م) دك( ؛) أى: ادا حكن 


أى: س- 6 وص +ه١‏ أى: ساو ص-0١‏ د. 
. البعد بينهما - طول العمود المرسوم من النقطة ( ..... »..... ) إلى 


إذا كان طول العمود المرسوم من النقطة ( ؛ .ص ) عل المستقيم 
مس )ص --8 يساوى 8 وحدات طول فأوجد قيمة ص . 
لين 
المعادلة العامة للمستقيم هى : اس ) ص + م - . 
| 4"2)-:سجم]| 0 ا وأدوصن 
١ "40+ "00|‏ 
]6 نواض|ج ئ) حم .ناصح 2+ 5١‏ 
إما مداص ج02 ) م ناص --.م م ص ده 
أ موص ص له حم وص 0.2 م ص و١‏ 
أولاً : نعوض بكل نقطة فى المعادلة العامة للمستقيم 
ثانياً : نقارن بين إشارق الناتجين : 
)١(‏ إذا كان هما نفس الإشارة : 
كانت النقطتان على جانب واحد من الخط المستقيم . 
() إذا إختلفتا فى الإشارة : 
كانت النقطتان على جانبين مختلفين من الخط المستقيم . 
ل 
هل النقطتان (*.-؟ 1١6-(:)‏ ) تقعان على نفس الجانب من 
الخط المستقيم : *س + ؟ ص ٠ - ١‏ أم على جانبين مختلفين ؟ 
الحل 
النقطة (7,-؟): 
المقدار :“اس + ؟ ص ١ح‏ #(") + ؟(-)-١<ع‏ 
النقطة (-؛؛١):‏ 


( موجب) 


المقدار : *س + ؟ ص ١‏ ح # ( )) + 6 (١١--1-)1(‏ سالب) 
النقطتان تقعان على جانبين مختلفين من المستقيم . 


القناعة كدر لا يفنى 





».صر اداع -03. /إابارىا 























الرياضيات للصذ الأول الثانوي - الفصل الدراسي الثاني 


)٠١ نمارين‎ 

(1) أوجد قياس الزاوية الحادة بين المستقيمين : 
وس +دامعاصضص-6١د.‏ ,2 
إذا كان طول العمود المرسوم من النقطة ( س١٠)‏ على المستقيم : 
«س - » ص + ه > ٠‏ يساوى مأ ١١‏ وحدة طول فما قيمة س 
أثبت أن النقطتين (- 7.5 1١١( ٠)‏ ) تقعان على جانبين 
مختلفين من الخط المستقيم : م" - )١1١١-(‏ +ك (21؟) 
وعلى بعدين متساويين منه 
إذا كان ظل الزاوية بين المستقيمين : س + ص -5 ٠-‏ , 
وس + ص" ٠-‏ يساوى ِ فماقيمة ك 


+ س + ص + /ا-. 


أوجد قياسات زوايا ل بج الذى رؤوسه )١-.5-(- ١:‏ 
ب - ( 4-5 )ءج -(7824) ثم أوجد مساحتة لأقرب 
وحدة. 

أثبت أن | لمستقيمين : 


ل :كس وص + ٠-٠١‏ 3 لم : وص ومس 1١9+‏ <-. 


متوازيان ثم أوجد البعد بينهما. 


ه - المعادلة العامة للمستقيم ال مار بنقطة 


نما 4 
المعادلة التى تمثل جميع المستقيمات المارة بنقطة تقاطع المستقيمين : 


ساب ص عاج ٠-‏ 3 5 س + بم ص + ج 


ا عدون فوسو زا راصن وكوي ]أدب 
متال 01 
أوجد معادلة المستقيم امار بالنقطة ( ١-2‏ ) وبنقطة تقاطع 
المستقيمين: لاس +اص +”7-. , وس اص ” - ٠.‏ 
الحلن 

؟ س + ب ص + اج +ل (8 س + ب ص + اج ) - ٠‏ 
> لاس اص +# +ل (وسناصضص "#) -د. 
بالتعويض بالنقطة المعلومة )١-.5(‏ 
لا( +(- )+ + ل [ه()-(-) ]ده 
> اك --؟ وبالتعويض فى )١(‏ 
.. المعادلة المطلوية فى : لاس + ص + ”*- ؟ (ه س اص -") ٠-‏ 


كل+مك-. 


للأسقاطذ القدير / غلي الدين يدبي 535:517ؤلللهء 


أى : لاس + ص + م .لاس + م ص + 5 -. 

أى: س اص م د. 
مثال (2) 
أثبت أن المستقيمين : س ‏ )ا ص + 1١4‏ ح ٠.‏ , )اس جاص + 0 ٠2‏ 
متعامدان » ثم أوجد نقطة تقاطعهما ومعادلة المستقيم امار بنقطة 
التتقاطع والنقطة (؟١١).‏ 


أى : سمس + ماص + ١‏ -. 


وبحل المعادلتين جبرياً نجد أن: س -- ؟ , ص - م 
» معادلة المستقيم المار بالنقطتين (- "٠5‏ )؛(؟١٠١)‏ هى : 


صم _ ادلم ص عا ١‏ 
س بد؟ ؟ب» س +؟ | © 
أى : س + ؟ ص ا) -. 

حل اخر: 

المعادلة العامة هى : 000 


> ص5 حدس" 


بالتعويض ف المعادلة العامة : ... المعادلة المطلوية هى : 


أوجد معادلة المستقيم امار بنقطة تقاطع المستقيمين : 

6س + ص -ه , س-ص - ١‏ وبالنقطة (ه.”) 

أوجد معادلة الخط المستقيم المار بنقطة تقاطع المستقيمين : 

كوس + م ص ه ح . , س + ”7ص - 7 وبالنقطة ( ٠5‏ ؟) 

أثبت أن المستقيمين : »؟ س م ص + ) - ٠.‏ , 

عد (1.؟) جل (دىىم) متقاطعان على التعامد ثم أوجد 
نقطة تقاطعهما. 

أوجد المعادلة المتجهة للمستقيم المار بالنقطة ( 1١‏ ) وبنقطة 

تقاطع المستقيمين : «س + ؟ ص -! - . , س + م ص - ٠‏ 

أوجد معادلة المستقيم المتجهة المار بنقطة تقاطع المستقيمين : 
ع دل (-م, ؟) , م«س ‏ ء ص - 1١‏ ويوازى محور 

الصادات . 






































الرياضيات للصؤه الأول الثانوي - الفصل الدراسي الثاني الأمتاط القدير / علي الدين يحيي 01999770517 


١-المتطابقات‏ 
© الغفرق بين المتطابقة والمعادلة : 
المتطابقة : هى متساوية صحيحة لجميع قيم المتغير الحقيقية 
المعادلة : هى متساوية صحيحة لبعض ( وليس كل ) قيم المتغير 
الحقيقية 

3 المتطابقات المثلثية الأساسية : 
(0) متطابقة الدوال المثلثية ومقلوباتها : 

جا 0< قتا 0 ١-‏ ,. جتا 0 << قا 0 ١-‏ . ظا0«< ظتا 0 ١<-‏ 


3 ظتاهم- ل 


حيث : قتا 0 - ظا 60 


1١ ةد‎ ١ 
0” 


ونلاحظ أن الدالة المثلثية ومقلوبها يحتويا على تاء واحدة فقط . 


(6 العلاقة بين ظا0 وبين جا0 ء جتا0: 


_ جا عو خاة 
+8 00 بي 


6 متطابقة الدوال المثلثية للزوايا المنتسبة : 


أولاً : الائنتساب للمحور الأفقى: 
نبحث إشارة الدالة المثلثية 


ظا 60 


ثائياً : الانتتساب للمحور الرأمى : 
نبحث إشارة الدالة المثلثية 
ثم نضيف التأتأه 


ثم نحذف رمز الربع 


6 متطابقة فيثاغورث : 

جا" ١-0‏ -جنا" 0 

جنا" 1-6-جا" 60 

١-86 ظا'60-ق"‎ 

١-60 قا'0-ظا"‎ 

ظنا' 0ح قتا" ١-60‏ 

قنا' 0- طنا؟ ١-6‏ 
مثال 00 

أكتب كلا من المقادير الآتية فى ابسط صورة : 


جا 0+ جتا 0 ١-‏ 
٠+ظ0-‏ ق05 


0 +ظتا" 0 - قتا‎ ٠ 


)060-وه0(ظ+ا١‎ 0( 


() ( جا 0 + جتا 0 )' -؟ جا0 جتا 0 
(0) جتا 0 قا( ط- 0) 
الحل 
)١(‏ المقدار - +١‏ ظتا 0 - قتا 0 
(6) المقدار - جا 0 + ؟ جا 0 جتا 0 + جتا 0-؟ جا 0 جتا 0 
١-‏ 
() المقدار - جتا 0 قا0 ١-‏ 
أكتب كلا من المقادير الآتية فى ابسط صورة : 
)١(‏ جا( 0-50)قتا60 


(؟) ( جا 0+ جتا80)' +( جا0- جتا0)" 


- 0 جا( 0-90) قتا‎ )١( 


(؟) (جا0+ جتا0) +( جا0-جتا 0" 


أثبت صحة المتطابقة : ظا 0 + ظتا 0 - ا0 قتا 0 
الحل 
الطرق الأبمن ذال واه عرو عاة ب جدة 


جا6 جا6 
_جا'ةج+جا_6ة_  0١‏ -ومهام_اءة 
ا ع 00052 10> الاير 


مثال (؟) 
أثبت صحة المتطابقة الآنية : ( ق01- ظا0)' - 
الحل 
فال جياه 1 جنا ,» 
الطرف الآيمن - ( قا 0 -ظا 0 ) 0 


(9-جاة)" _ (١-جاة)"‏ 
١ا-جا6‏ 


60اج-١‎ 
ج+جا6‎ ١ 


5 السك )> 
جنا جنا" 6 
: 
بج عي 7 لأيسر 
« ملحوظة : يتضح لنا من المثالين السابقين أنه يفضل التحويل إلى 
جا 0» جتا0 وذلك لسهولة الحل. 
مثال () 


6 "نتظ-١‎ 
60 مظنا"‎ ١ 


أثبت صحة المتطابقة : - ؟ جا ١-0‏ 





2 60». جر ا داع -ء 3ل. بزاباينا 
























































الرياضيات للصؤه الأول الثانوي - الفصل الدراسي الثاني الأمتاطا القدير / علي الدين يحيي 01919770517 


دن 


0 


5 


8 اي 
لبجم ثم نقوم بالتحويل 


وبالضرب < جا 0 بسطاً ومقاماً 
ج81 


- جا 6-جتا" 0 - جا" 0-(١-ج"‏ 0) 
جا 1-0+ جا 0 - ؟ جا 2١-0‏ الأيسر 
تدريب 
جا" 6 


أثبت صحة المتطابقة الآنية +١ - 922- ٠‏ جتا 0 


60انج-١‎ 


)0-*و0(اق)0-*ة١(اتج‎ )0( 

() جا0 قتا 0 جتا' 0 

(0) جتا' 0 قا0 قتا 0 

(؛) جا0 جا(950*-0)ظا60 

(ه) جا( 0١ة”‏ -0) جتا 0 - جتا ( 950 +0) جا(0-7) 
« أثبت صحة كل من المتطابقات الآتية : 

() ؟ جا 0 + جتاً 0 -1+ جا" 0 

(0) جا( ١ة*-0)‏ جتا 0 -١1-جا‏ 0 

(8) جتا0 + جا0 ظا0 - قا0 

(9) قا 0 -جا0 ظا 0 - جتا0 


2 


؟ ‏ حل المعادلات المثلثية 
ملحوظة: <١-‏ جا 0 < <١- ٠ ١‏ جتا 0 < ١‏ 
© حل العادلة المثلثية فى الفترة 1 71729[ : 
01 
أوجد مجموعة حل المعادلة الآنية حيث 0130 ؟]17 : 
ظا0-١-.‏ 
كن 


ظا 0 ١-‏ © 09 الربع الأول والربع الغالث 


0-ه؛* أ 0د مر بهمئ* -ه0م,” 

.. مجموعة الحل - ( ه؛* , ه2؟* ) 

أوجد مجموعة حل المعادلة الآنية حيث <٠‏ 0 < 5.0"* : 
» جتا ٠21١-0‏ 


أوجد مجموعة حل المعادلة الآتية حيث <٠‏ 0 < .5"* : 
؟ جا 0 جتا 0 +” جتا 0 ٠-‏ 

اللدل 
؟ جا 0 جتا 0 +8 جتا 0 ٠-‏ © جتا0(؟ جا8+0)-. 
جتا0-. © 0ح.و* )ُ. 0حعارم”* 
»> جا0--0,١‏ مرفوض 
.. مجموعةالحل - 607١*901‏ ) 


تدريب 


أو ؟ جا0+"-. 


أوجد مجموعة حل المعادلة الآتية حيث *18١0 < 0 < ٠‏ : 
؟ جا 0 جتا 0 + جتا 0 ٠<‏ 
الكل 


؟ جا 0 جتا 0 + جا 0 ٠-‏ 


أوجد مجموعة حل المعادلة الآتية حيث 0 013.؟]17 : 
؟ جا 0 جتا 0 - -م][” جا 0 

الحل 
؟ جا 0 جتا 0 +ما" جا 0 ٠0-‏ > جا0 (؟ جتا 0 +ما") -. 
جا20. © 2-0. أ). 0د ره 


























الرياضيات للصؤه الأول الثانوي - الفصل الدراسي الثاني الأمتاطا القدير / علي الدين يحيي 01919770517 


أو ؟ جتا 0 +ء[” -. © ؟ جتا0 --مام 
ا 
5 


>» جتا 0 -- 0 الريع الثانى والربع الثالث 


0 حاوس ع .ول أ 0 دعم لامع .نه 


جموعة الحل - 1خ 1 ) 
مثال (4) 
أوجد مجموعة حل المعادلة الآنية حيث 17.0130 : 
؛ جا 0 -" جا 0 جتا 0 ٠-‏ 
الل 
جا (؛ جا0-" جتا 0 ) ٠<‏ 
جا0 -. 
أو جا 0-" جتا 0 ٠-2‏ 


جا6 
جنا 0 


> 2-0. أُ. 0 دعم ىه 
وبالقسمة على جتا 0 
أ ظا5-0 -د. 
0 الربع الأول والربع الغالث 
0-عهث/ جسم فلي, 


. مجموعة الحل -ز١.*‏ اث ,وك من كوك كة) 


تدريب 


- 00-0 


و حال + وه وم* د ,و4 جه 


أوجد مجموعة حل المعادلة الآنية حيث 17.0130 : 
[” جا 0 ظا0- جا 0 ٠02‏ 


3 الحل العام للمعادلة المثلئية : 

لإيجاد الحل العام للمعادلة المثلثية 

نوجد مجموعة حل المعادلة فى الفترة [20 2 ]17 ثم نضيف 5ل ]1 
حيث له د صملجميع الحلول الناتجة . 

ففى مثال )١(‏ يكون الجل العام - 0 * + ؟ نه ]1 ٠‏ ه66 + ألم ]1 
وفى مثال (؟) : الحل العام - 9٠١‏ * + ؟ بد ]1 86 ل كم ]1 

وفى مثال (*) : الجل العام - ؟ لد6] , *18٠١‏ + 2 لم70 ء 


+ لم7 2 ”6٠١‏ + 6لم]1 حيث لد 3 صم 


وفى مثال (؛) : الحل العام - 2 ل+ ]7 , 18٠١‏ + 2ل ]1 
, 6ن دم* + ارمع , 46 5( +6لم]1 حيث لد صم 
أوجد الحل العام للمعادلة : جتا 0 - 2 جتا' 0 
اللن 
جتا 0 - »> جتاً 0 »> 6جتا 0- جتا0<. 
جتا 0 (؟ جتا0-١)<-٠‏ 
20 


جتا 0 ٠-<‏ > 0ح.ؤ: أُ, 


حم جتا 0 - ل 


أو ؟ جتا ٠021-0‏ 

> 30 الربع الأول والربع الرابع 

2500 أ 0 عاسم ةعميم 

.. الحل العام للمعادلة -١ة*‏ + له ]7 , 761٠١‏ + لم ]1 
558 +الم]1ء .م + لم ]7 حيث ل34 صم 

مثال (3) 

إذا كانت جتا 0 - جا؟ 0 فإن 05+ 9.0-60 +745 

20+06.وثب+اسمعر ( نبدأ بوضع زاوية الهيب أولاً ) 

ا ا نا 

0حمام .كام 

أ 6 0-0-.و*+ ,لمع > 20.وث+ المع 


.. الحل العام -.”” + ١؟1لم, 8٠‏ +85.0لم حيث ل34 صم 


تمارين ١‏ 
« أوجد الحل العام لكل من المعادلات الآنية : 
() قا0<ما؟ 
() قتا0--» 
(0) ظا0--١‏ 
(؛) مآ ؟ جا 0 جتا 0 - جا 0 ٠<‏ 
(ه) ؟ جتا( 550 ١<)0-‏ 
© أوجد مجموعة حل المعادلة الآتية حيث 1752015360 : 
(5) جا 0 - جتا 0 ٠-‏ 
(0) جا 0 -؟ جتا 0 ٠-‏ 
(8) ع[؟ جتا 0 + ٠.‏ 
(9) ؛جا0+م-. 


)١(‏ ؟ جا 0-ه جا2+01-. 





حل 600». جر ا داع -ء 3ل. بثابناينا 


























الرياضيات للصذ الأول الثانوي - الفصل الدراسي الثاني 
؟-- حل الميلت القائم الراوية 
© حل اللمثلث القائم الزاوية إذا علم منه طولا ضلعين : 
مثال (1) 
امل 
أولاً : نوجد ده( ج ) : 
درج ) -ظا ' (لل) دن” سمه 
ثانياً : نوجد 7043 ): 


و77 ) .و * ان / سم* دو2 دوه 


حل المثلث 7ب ج القائم الزاوية فى ب : ج-78 سمء بج - 6 سم 
الحلن 
7 )- جا '(50)- 


ودج ) -.و* م8 )5 - 


23 حل المثلث القاذ 
زاوية : 


الزاوية إذا علم منه طول ضلع وقياس 
مثال (2) 
حل المثلث ب ج القائم الزاوية فى ب: ( ب - 8 سم» 3ه( ج) - )م » 


مقربا الناتج لرقمين عشريين . 


أولاً : نوجد 70214 ) : 
ود(* 7 ) د.و* -وم* دجو» 


ظاعمه - 4ه 
باج 


م 
> بج د 
ظا 
جا ؛”” ع 
- 


ددريب 


حل المثلث "ب ج القائم الزاوية فى ب: (ج - ”؟ سمء فه(ج) - مه * 


للأسقاطذ القدير / غلي الدين يدبي 9535:517للله: 


)١(‏ العمود الساقط من مركز الدائرة على وتر فيها ينصفه وينصف 
زاويته المركزية . 
(؟) الزاوية المحيطية المرسومة فى نصف دائرة قائمة . 
مثال (”) 


8 . احسب طول هذا الوتر مقرباً الناتج لأقرب رقمين عشريين . 
يدن 
نرسم 6 81 ب 


5 منتصف 8ب 2 قم( مو ) 6ه" 


فيك (/و: د - جاؤه * 


.:. .و52 جاكؤه؟ ح وما 

> ب - يا وم - لارة سم 

؟ب قطر ف الدائرة م .. 7009 ) - لا"* , (ج - ؟1 سم . 
أوجد طول نصف قطر الدائرة لأقرب رقمين عشريين . 


« حل المثلث 7ب ج القائم الزاوية فى ب مقرباً قياسات الزوايا 
لأقرب درجة والطول لأقرب سم حيث : 

)١(‏ 8ب )اسم ء بج - 5 سم 

(0) *٠ب-‏ ه,؟١‏ سم ء بج - ١7,3‏ سم 

فيه ؟ابح "ره سم ء ج - ١١,5‏ سم 

(4) بج - #١‏ سم ء 9ج -2ا سم 

(5) درك ج) - 52" ء, (ج - الاسم 

« حل المثلث ؟ب ج القائم الزاوية فى ب مقرباً قياسات الزوايا 
لأقرب ثلاثة أرقام عشرية من الراديان والطول لأقرب ثلاثة أرقام 





ل 60». جر ا ذاع-ء 3ل. بثابناينا 
































الرياضياتته للصؤم الأول الثانوي - الفصل الدرامي الثاني 
عشرية من السنتيمترات حيث : 
(5) مرجع )عد هو.* » بج >8 سم 
(/0) قدزح ع )ع ؤولرره » ؟ب-18اسم 
(8) رح جا) عد ىاه » ؟ج 760,8 سم 
(9) *بج مثلث» رسم ؟ى ل بج فإذا كان: ؟ى >5 سم ء 
اح ب)-ح ؟ه؟ ,. د( ح ج) - م" 
فأوجد طول بج لأقرب سنتيمتر. 
)1١(‏ دائرة + طول نصف قطرها 7 سم » رسم فيها وتر "ب يقابل 
زاوية مركزية قياسها "9٠١‏ . 


- زوايا الارتفاع وزوايا الانخفاض 


5 0 5 2 
> البعد بين الراصد والقاعدة البعد بين المرصود والقاعدة 


( يتم دراسة الشكل السابق بالتفصيل ) 


مثال (4) 


من قمة برج ارتفاعه 50 متراً وُجد أن قياس زاوية انخفاض جسم 
واقع فى المستوى الأفتى امار بقاعدة البرج قساوى 4/ 76” . أوجد 
بُعد الجسم عن قاعدة البرج لأقرب متر. 

الخل 
(4١ - ) (4‏ و ١+‏ )ع )»/ ممه 


لنت 


ظا؛” م5 - 
6ب 


بُعد الجسم عن قاعدة البرج - 8/ متراً 
من نقطة على سطح الأرض على بُعد 42 متراً من قاعدة مئذنة قاس 
رجل زاوية ارتفاع قمة المئذنة فوجد قياسها 0" . 


ع 


أوجد ارتفاع المئذنة لأقرب متر. 


للأسقاطذ القدير / غلي الدين يدبي 9535:517الله: 


رصد شخص واقف على سطح الأرض طائرة على ارتفاع 8٠٠١‏ متر عن 
سطح الأرض» فوجد أن قياس زاوية ارتفاعها 717 0" . أو 
المسافة بين الشخص والطائرة . 


دء/ 


]ج 


- جالا١”‏ هه 


ع6 


جا/1] ه* 
المسافة بين الشخص والطائرة - 1١81/”‏ متر 
دقلف 
من قمة صخرة ارتفاعها 10 متر من سطح البحر قيست زاوية 
ا نخفاض قارب يبعد ٠٠١‏ متر عن قاعدة الصخرة . 
فما مقدار قياس زاوية الا نخفاض . 


ج٠‎ 


- 1807 متر 


+( ) - ظا ' ( 5 ) -مه/ .م* - ند( ”جر ) بالتبادل 
مثال (07) 
من قمة صخرة ارتفاعها 00 مترأ رصد شخص سفينتين فى البحر على 
شعاع واحد من قاعدة الصخرة وقاس زاويتق ا نخفاضيهما فوجد 
قياسيهما :** . 5" . أوجد البُعد بين السفينتين لأقرب متر. 


ع 
طاء م9 


فيط وبج: 


بع 


-857,5- 70م متر 


ل 5 6 0 5 
2 ظاه؛*-١‏ م وب -.ه متر 


.. وعم ب وبح لام -.ه - /ا” متر 
































الرياضيات للصت الأول الثانوي - الفصل الدراسي الثاني 
ددريب 
يقف شخص عل بعد 6٠‏ متر من قاعة برج » رصد زاوية ارتفاع 
قمة برج » فوجد أن قياسها من .أوجد ارتفاع البرج لأقرب متر : 
الحل 


( أرسم المثلث القائم وبيّن عليه المعطيات وحدد الضلع المطلوب 


6 سم ب 
(؛) أوجد قياس زاوية ج فى كل من الأشكال الآتية : 


7 
ليه من نقطة على سطح الأرض على بعد ؛؟ متراً من قاعدة مئذنة 
رصد رجل زاوية ارتفاع قمة المئذنة فوجد قياسها 1485".اوجد 
() ارتفاع المئذنة لأقرب متر. 
© يعد الرجل عن قمة المئذنة . 
(؟) من قمة برج ارتفاعه ٠0‏ متراً وُجد أن قياس زاوية انخفاض 
جسم واقع فى المستوى الأفقى المار بقاعدة البرج 60 * 
أوجد بعد الجسم عن قاعدة البرج لأقرب متر. 


للأستاطذ القدير / غلي الدين يديي 535:517ؤللله: 


ه-القطاع الدائرى 
هو جزء من سطح الدائرة 
محدود بنصفى قطرين وقوس 
القطاع الأصغر؟ج ب 
» القطاع الأكبر ؟ى ب 
23 مساحة القطاع الدائرى : 
إذا غلمت مساحة الدائرة : 
و 
وفنع 6 5006 
مساحة القطاع - > <ا مساحة الدائرة 
500 _ س9 إل عن 
مساحة القطاع - , 1 مساحة الدائرة 
إذا عُلم طول نصف قطر الدائرة : 
ف الع ان كان و 
مساحة القطاع -- ثم “ا 6 
إذا عُلم طول قوسه : مساحة القطاع - + ل قم 
محيط القطاع الدائرى : - ؟ نوه + ل 
تذكرأن: 
طول القوس : ل - 0 * <ا نم 
العلاقة بين القياس الستينى والقياس الدائرى : 
(9) مساحة الدائرة - 72 ني؟ 
مثال (1) 
أوجد مساحة القطاع الدائرى الذى طول نصف قطر دائرته " سم 
وقياس زاويته 1,5 . 


لذن 


506 0ن دو _ ١‏ 32 _ 3 
مساحة القطاع -- نى, “ا 0 دح« (0) > ١,5‏ -7,١؟‏ سم 


مثال (2) 
أوجد مساحة القطاع الدائرى الذى طول نصف قطر دائرته ٠١‏ سم 
وقياس زاويته 79" لأقرب سنتيمتر مربع . 
الكل 


مساحة القطاع - 0-7 “ا مساحة الدائرة 


ر- 























الرياضيات للصؤه الأول الثانوي - الفصل الدراسي الثاني الأمتاطا القدير / علي الدين يحيي 019197370517 


مثال (9) 
قطاع دائرى مساحته ١7؟‏ سم؟ وطول نصف قطر دائرته ١6‏ سم ء 
أوجد قياس زاويته المركزية بالقياسين الدائرى والستينى . 
الحل 


اام ١ن"‏ و 
مساحة القطاع --- ثم *ا 6 
حلط زول »0 * 


50 (,يا.ا )+( -م” 

اسه سو عير كا د رس؟ سروه 

1 قطاع دائرى طول قوسه سم وطول نصف قطر دائرته 
مثال (4) سم احسب مساحة القطاع لأقرب سم؟ . 

تطح دائرق بماضم ارح > وطول تطروذ ا ئركه 1 رس «اويجد قطاع دائرى قياس زاويته المركزية 70* وطول نصف قطر 

محيطه . 


دائرته 7,5 سم احسب مساحته لأقرب سم . 
أوجد مساحة القطاع الدائرى الذى طول قطر دائرته ١؟‏ سم 
وقياس زاويته "١٠١‏ . 
١‏ : 1 
-ع لام > ل-(84«2)+*8-اسم (؛) أوجد مساحة القطاع الدائرى الذى طول نصف قطر دائرته 


الكن 


مساحة القطاع - + ل قم 


> محيط القطاع - نه +ل -؟ م +28-15 سم ٠‏ سم وقياس زاويته المركزية 2,5 . 
تدريب زه( قطاع دائرى طول قوسه 7 سم » ومحيطه 25 سم . 

أكمل ما يأق : أوجد مساحته . 

)١(‏ مساحة القطاع الدائرى الذى فيه ل - 5 سمء نهه- ؛ سم هى .. /||(7) قطاع دائرى محيطه ؛؟ سم وطول قوسه ٠١‏ سم 

(؟) القطاع الدائرى هو 0 أوجد مساحة سطح الدائرة الى تحوى هذا القطاع . 

(9) قطاع دائرى مساحته ©" سم' » وطول قوسه ٠١‏ سم يكون () قطاع دائرى مساحته ١7؟‏ سم؟ وطول نصف قطر دائرته ٠5‏ 
طول نصف قطر دائرته يساوى : سم أوجد طول قوس القطاع وقياس زاويته المركزية بالراديان . 

(؛) قطاع دائرى مساحته 7١‏ سم" » وطول نصف قطر دائرته ٠١‏ سم |||(4) حوض زهور على شكل قطاع دائرى مساحته 48 ؟ وطول 
يكون طول قوسه يساوى ١‏ قوسه 5 أوجد محيطه وطول نصف قطر دائرته . 


3 قطاع دائرى مساحته ٠٠١‏ سم؟ وقياس زاويته 5,2 ” فإن طول ؟ -المطعد الدائريه 
نصف قطر دائرته يساوى . جزء من سطح الدائرة محدود بقوس فيه 

(0) قطاع دائرى محيطه 20 سم » وطول قوسه /ا سم فإن مساحته .. ووتر مار بنهايتق هذا القوس 
القطعة الصغرى ١‏ ج ب » العامة 
والقطعة الكبرى ؟ ى ب 
22 مساحة القطعة الدائرية : 
مساحة القطعة الدائرية - !- ني؟ (60 5 جا6) 
» مساحة القطعة الكبرى - مساحة الدائرة - مساحة القطعة 
الصغرى 





4 600». جر ا داع -ء 3ل. بثابناينا 





























الرياضيات للصذه الأول الثانوي - الفصل الدراسي الثاني الأمتاطذ القدير / علي الدين يحيي 01919770517 


مثال (1) 5 مساحة القطعة الدائرية - 8-1 ؟ ( /ا,؟ - جا 6"” لوده ) 
أوجد مساحة قطعة دائرية طول نصف قطر دائرتها ٠١‏ سم ٠‏ وقياس 
زاويتها "٠١‏ مقربا الناتج لأقرب رقمين عشريين . 

لكي 
١0‏ عا كت د ورد 


1 مساحة القطعة الدائرية - !-نق؟ (0*- جا 0) 
مساحة القطعة الدائرية - 1 نق؟ (0 *- جا 0 ) 


د 0 
- ؤلارة/ا سم 


© -50«ام © 50 دولا ” 


نحوّل نظام الآلة إلى النظام الدائرى ( 18303121 ) كالآقى : 
مساحة القطعة الدائرية علي (0)؟ ( هارو جا 1٠١‏ ) 4 5101 "51111 
مساحة القطعة الدائرية --!- 2م ؟ ( هلا,؟ - جا ه/ا,؟ ) 
د وكرملم سم" 0 
مثال () 2الارة اسم 


أوجد مساحة قطعة دائرية طول نصف قطر دائرتها ٠١‏ سم ٠‏ وقياس تدريب 


زاويتها ؟, * مقرباً الناتج لأقرب رقمين عشريين . أكمل : 
الحل )000 قطعة دائرية طول قوسها ١؟‏ سم » وطول نصف قطر دائرتها 
س» - ,ع رخا -م/ علد ١‏ سم فإن قياس زاويتها المركزية - 


فساخة القطعة الدائرية -!- (0)؟ ( ,ع جام ككره ) 
ّ 3 
- 19,01 سم 


جل اخ (9) قطعة دائرية طول وترها 7 سم » وطول نصف قطر دائرتها 
نحوّل نظام الآلة إلى النظام الدائرى ( 12203121 ) الآ : ةا ه: 1 

نحوّل نظام الالة إلى النظام الدائرى ( ) كالاقى ١‏ سم فإن قياس زاويتها المركزية - 

511111 21001 4 

8 مساحة القطعة - + "٠١‏ ( ؟,؟ - جا ؟,؟ ) - 8,01 ب 


تدريب 


أوجد مساحة القطعة الدائرية التى طول نصف قطر دائرتها ؟١‏ سمء 
وقياس زاويتها المركزية "١٠6١‏ . أوجد مساحة القطعة الدائرية التى طول نصف قطرها ١5‏ سم 
وارتفاعها © سم مقربا الناتج لأقرب سنتيمتر مربع . 
ادل 
مودق وج-6١1-‏ ه<-١٠اسم‏ 


122 ١ حاتج:و١م/ه فى‎ 


> سد( حع0مى)ح جتا'(15) 
مثال (؟) 15 


”1١- 5‏ نع » 
أوجد مساحة قطعة دائرية طول نصف قطر دائرتها 8 سم » وطول 
قوسها 22 سم. 


© تذكرأن: ل-0* كان 


سح عم مب)-0- »ات ىن »” 
7 - )266 كوه 
| 


0 7 7 6-50 كوتعرعرظ لخاد تاه 

.. لع0ة*«اس . 2 -0*<ام © 50-هلا,؟ 
١‏ مساحة القطعة الدائرية - !ل ني؟ (0 * جا 0 ) 

حأ س* 2 ولار؟ ».م1 جع د وم اوه ١‏ 

مساحة القطعة الدائرية --!أ- ١6‏ (1,34- جا 26 5و* ) 


مساحة القطعة الدائرية - (! نق؟ (0 * - جا 0 ) 1 


5 0 
- 19,/الا سم 

















الرياضيات للصؤه الأول الثانوي - الفصل الدراسي الثاني الأمتاطذ القدير / علي الدين يحيي 01919770517 


ملحوظة : 
فى المثال السابق : 


مساحة القطعة الكبرى -7 نه - مساحة القطعة الصغرى 


0 
ع7 ا (16)' - وارلالا ع ,وى سم" 


تمارين 17) 
() أكمل مايأق: 
(©) قطعة دائرية طول نصف قطر دائرتها ٠١‏ سم» وطول وقوسها 
ه سم فإن القياس الدائرى لزاويتها المركزية - ا 
(©) مساحة القطعة الدائرية - 00-7 2113101 
(ج) مساحة القطعة الكبرى - 2 


(9) أوجد مساحة القطعة الدائرية التى طول نصف قطر دائرتها 
8 سم ء وقياس زاويتها - 71,6 

(5) أوجد مساحة القطعة الدائرية التى طول نصف قطر دائرتها 
؟ سم » وقياس زاويتها - 1770* ثم أوجد مساحة القطعة 
الدائرية الكبرى 

(4) أوجد مساحة القطعة الدائرية التى طول وترها / سم وبعده 
عن مركز الدائرة سم . 

(5) قطعة دائرية قياس زاويتها المركزية 5* ومساحة سطحها 
1 سم؟ . أوجد طول نصف قطرها . 


5" - المساحات 

© مساحة سطح المثلث --+- طول القاعدة ‏ طول الارتفاع 
© مساحة سطح المثلث: 

- + حاصل ضرب طولى ضلعين > جيب الزاوية المحصورة بينهما 
© مساحة سطح الشكل الرباعى : 
-+- حاصل ضرب طولا قطريه “ا جيب الزاوية المحصورة بينهما 
© مساحة سطح المضلع المنتظم - !- له س؟ »« ظتا 26 

حيث : له - عدد أضلاع المضلع » س - طول الضلع 

« حالات خاصة : 
)١(‏ مساحة المربع - + مربع طول قطره 
()_مساحة المعيّن -- حاصل ضرب طولا قطريه 


(6) قياس زاوية رأس المضلع المنتظم الذى عدد أضلاعه له ضلعاً 


_ (سع) كمه 
سس وا 


مثال (1) 
أوجد مساحة سطح المثلث بج الذى فيه ؟ب ١١‏ سمء بج - 


؟؟ سم د(2) -7* مقرباً الناتج لأقرب ثلاثة أرقام عشرية . 
كن 


مساحة سطح المثلث 8 بج - !»وب »ا ب ج عا جاب 


لط 7 ؟؟ كاجا 578 163,830 سم؟ 
مثال (2) 
اوجد مساحة سطح مربع طول قطره ٠‏ سم 


البق 


مثال (”) 
أوجد مساحة الشكل الرباعى الذى طولا قطريه 8؟ » ©؟ سم 
وقياس الزاوية المحصورة بينهما "12١‏ مقرباً المبواب لأقرب رقمين 
كن 
مساحة سطح الشكل الرباعى -1- حاصل ضرب طولا قطريه * 
جيب الزاوية المحصورة بينهما 
مساحة الشكل الرباعى --!- 8؟ > 0 »ا جا 12١‏ * 
2 .لروئؤهة سم' 
تدريب 


أوجد مساحة سطح معيّن طولا قطريه ٠١‏ سم » ١6‏ سم. 


أوجد مساحة الشكل الخمامى المنتظم الذى طول ضلعه ؟١‏ سم 
مقرب الناتج لأقرب سنتيمتر مربع . 
كن 
5 1 ا كان عاسا 16 
حل »اه >« (12)؟ ع ظنا 22 لش هاه »ا 6ؤا »ا ظتا 0م* 


- 0 
- 8ؤ؟ سم 





».صر اداع -03. انرا 
































الرياضيات للصؤه الأول الثانوي - الفصل الدراسي الثاني الأمتاط القدير / علي الدين يحيي 01999770517 


تدريب 
أكمل مايأق : 
)١(‏ قياس زاوية رأس الشمافى المنتظم - 
(9) مساحة سطح المثلث المتساوى الأضلاع » وطول ضلعه ٠١‏ سم 


كالول 
'بج لك مساحة سطحه 157,817 سم؟ فإذا كان: 8ب ١5-‏ سم 
» باج تح 22 سم فأوجد 44( 2 ) لأقرب درجة . 
الحلن 

مساحة سطح المثلث --1- ا با بج »ا جاب 

رةه - 6اادكا 11 كا جاب 

جاب 0,85١‏ وه( ) - جا ' (اقل,:) دمده 
"بج ك متساوى الأضلاع مساحته 8128 سم؟ فأوجد طول 
ضلعه. 


از 


أوجد مساحة سطح المعيّن الذى فيه قياس إحدى زواياه *1٠١‏ 
وطول ضلعه 8 سم لأقرب رقم عشرى واحد . 
لخن 
مساحة سطح المعيّن - ؟ »ا مساحة سطح المثلث 
مساحة سطح المثلث المتساوى الساقين والذى قياس زاوية رأسه 


0 3 ع ١‏ 5-9 
"٠‏ وطول أحد ساقيه 8 سم -ح كام »ام عا جا ,١‏ - 0 سم'ا 


مساحة سطح المعيّن - 2 < 7١ - "١‏ سم" 


)1١( تمارين‎ 


() أكمل مايأق: 
مساحة سطح المضلع المتتظم الذى عدد أضلاعه س ضلعاً 


0 
© 


9 


(9) أوجد مساحة سطح المثلث المتساوى الساقين الذى طول أحد 
ساقيه 8 سم وقياس زاوية راسه *7٠‏ لأقرب رقم عشرى 
واحد. 

99 أوجد مساحة سطح المثلث الذى فيه طولا ضلعين لاسم 8٠‏ 
سم » قياس الزاوية المحصورة بينهما 74* لأقرب رقمين 

(9) أوجد مساحة سطح الشكل الخماسى المنتظم الذى طول ضلعه 
٠‏ سم لأقرب رقمين عشريين 

(١‏ أوجد مساحة سطح مضلع منتظم عدد أضلاعه - ٠١‏ اضلاع 

وطول كل منهم > ٠١‏ سم لأقرب عدد صحيح . 

() مضلع ثمافى منتظم مساحة سطحه 2 ظتا 1 سم؟ » أوجد 
طول ضلعه . 

(0) أوجد مساحة الشكل الرباعى المحدب الذى طولا قطريه ؟١‏ » 
8 سم » وقياس الزاوية المحصورة بينهما .”٠‏ 


ومن يتهيب صعود الجبال 
يعس أبد الدهر بين الحفر 


الأستاذ / علكَ الدين يحجى 





».صر اداع -03. برابانىا 


























الرياضيات للصؤه الأول الثانوي - الفصل الدراسي الثاني الأمتا القدير / علي الدين يحيي 01919770517 


حلول اليمارين 
تمارين )١(‏ 
(0) بسح دام م سح دس , سس لاص حاو بن اع اصح ددهو 6 
ص ,١--‏ ع عدص -89 2 خع+١-وؤ‏ جما عدم 


(0) 0 مدعب .. س5 ص -م١‏ . عمس ص -5(8)-18- صفر 


5 م 5 م سن م 
١ 0 /َ | 9‏ 00 )-( 
ةع عه ةع عه ع ص 


س-؟, ص - 5 حم ساس اص -"(6) +54 - ١١‏ 
(؛) © المصفوفة ١‏ متمائلة .. ص-١1--5‏ حم ص - ده 
(5) 0 المصفوفة١‏ شبة متماثلة .. ص-١-5‏ م ص جل“ 
إن 0 
'دب -» 
7 / 
ب دلا 7 +ب- ١‏ .. + +لا ١2‏ > 7د دوع 
4م +ب-:(-0) + ماع -لنا 
(90) ب ع؟(0) + ١حع-”2ء‏ ى-0(2) +2 دكا !ىد( + مده 
عل >( + احهء 22( +؟ ح تا ليخ( 2ر7 


ل )١1د‏ لاء لي 22(" كدف لي 22(" + مدهو 


7" إن 
7 . 
تمارين 5) 
00 00 ,)ل (١‏ 000 ”ظ5 
ع+ع مم ؟ ١‏ 
»لالض ع" بي ص د ,اع + وح نا ع-2., 7 لمح ١‏ رن 7< 


* اه الع س0 هم ' 
(١‏ م ١‏ -) |ءعدإام ب ع 
ب( ندم بس( 8 رض 


> س 2-”” , ١‏ - سن , ب- ا ع -- ا ص ١-2‏ 
80# 3 كص غع-لا ١‏ 
١ 0‏ : 
لاس | »" 1١.‏ كم 3 3 
1١‏ 8- كص ع- لا ١‏ ع دن ١‏ ع 
0 - ما عدلاح-١(‏ ىرا ع- 
لاس ١.‏ 5-كم 3 3 
» 89- ص ١‏ 


؟أ ض -م 2 ص ح )4 , اللاس + .4-217 .. لاس ح - ع 


هن كاد او اد كان 


6مس اروس؟5 ا د. 


ح - ١‏ - م - ولع - لان 


(0) م) معام 


م 


() () كس-(-ه)-د. 


(ب) الكس(؟ د س)-(97) 6-2 


تمارين ؟) 


(ب) “اا (ج) ”اا (5) 5 عناصر 


ه04 ,م ١١‏ ك١‏ 
زم حم 


كجس مادص 
سس ص 


إن 
حي كس د عدو ان ع 


6مس سلراس؟ لا ع د. 
.. سا امس + اح. م اس ١‏ 


١ 
)م--(+)ى+5(-)١5-؟(-ع(١ ع‎ 
١١ 


8 ه - ل | - 0 | - ه,"؟ وحدة مربعة 





».قر اداع -03. /إابنانىا 























الرياضيات للصذ الأول الثانوي - الفصل الدراسي الثاني 





١ ١- 5 

5 م ه ١‏ |-ع(--ه؟)-(-لم؟ب+ه)+(.مب+م) 
ه للا ١‏ 

-- 5 +22 +22 - صفر © النقط الثلاثة تقع على استقامة واحدة 

(0؛) (0) ب«#س بوص - ,١‏ وس + لاص -؟١‏ 

١ 

7“ 1 


3 
-١؟‏ + 0١‏ - اق شاع 
و١‏ س 


(ب) مس +ص +ع م بس +.- مع -5,.+وص +ع دلا 
١ "0 *‏ 
مداء .نم دح و (-و-6)+)(.-)؛)-ح وه - م - لان 


٠‏ لمح لا(-هع-.)-و(-؟-5ى) +( -م) 
١‏ 
-- )ع + ..؟ -56 د ؤو 
لم ١‏ 
-|؟ (5١‏ -ماع-لا(-و-؟)+؟(م؛-١ا)‏ 
1 ؟ 


ع لالا+ 11 > كود 


)؛-.(ام+)١5-؛8(و‎ - 5ح‎ ٠ 
7 هه‎ 6,8 


طم عدولا 


5 -لمع. م (ددو 


للأسقاطذ القدير / غلي الدين يدبي 9535:517للله: 


3 

















النقطة 3)2٠0.0(‏ منطقة الحل 

.. مجموعة الحل هى المنطقة المظللة 

() ل:ص ده 

خط متصل يوازى محور السينات 

النقطة ( 30.0 منطقة الحل 

.. مجموعة الحل هى المستقيم ل لا نصف 
المستوى المظلل والذى تقع فيه نقطة الأصل . 
(0) لى:ص حوس -م 

س | . |؟ 
ص|-م ١|‏ 
النقطة (3)00 منطقة الحل 

.. مجموعة الحل هى المنطقة المظللة 

















(4؛) ل, :سح ؛ خط متصل 
»ال ض عاس 1 خط متقطع 


٠ 
































مجموعة الحل تمثلها المنطقة المظللة . 
)( ل : س+واص د خط متقطع 
































مجموعة الحل تمثلها المنطقة المظللة . 
(5) ل,:س + ص ده خط متصل 
عءل,:ء ص -١اءلى:س‏ ح ؟ متصلة 
مجموعة الحل تمثلها المنطقة المظللة ؟ بج 
حيث ١:‏ (4غ١).ب(؟غ١١)‏ 
»+(25”) 





دالة المدف : ع -؟ س + اص 


حل 60». جر ا داع -ء 3ل. بثابناينا 










































































الرياضيات للصذم الأول الثانوي - الفصل الدراسي الثاني 
[مآ, > كا ع + ”كاد اك [سم]يع لا ؟ مكا رد" 

.)١25؟(ب علا + عا" - م . ى أكبر ما يمكن عند‎ ]٠ 
٠> سن > ., صن‎ )0( 

وهذا يعنى أن مجموعة الحل فى الربع الأول 

ل :ص + ؟س ٠١-‏ خط متصل 




















مجموعة الحل تمثلها المنطقة المظللة و0٠‏ بج حيث : و(0.٠)١١(5.٠)‏ 

»ب(4؛ء.؟).+(20")دالة الحمدف : عي -؟ىص + وهوس 

3 0 5950065715 بإ 155 +0 2 

.. ” أكبر ما يمكن عند .)٠0280( ١‏ 

(8) بفرض عدد أسماك النوع () - س ء عدد أسماك النوع (ب) - ص 
(0) سس +ص »مه ()) س  ”0<‏ (9) ص < هم 


1-2  ]ل“[‎ 3 


» دالة المدف : , - ؛ س + »مص أقل مايمكن 

















لع: س >" ء. لي: ص - و" 

مجموعة الحل هى المنطقة المظللة اب ج 

حيث : ١(0.30؟)‏ ب(50 ه") 

»+(ه1.ه؟) 

.- دالة المدف: ى -و)س +م«ص 

[م] ع كك + ؟<ا 2 د الك [ر]ى ع كام + كفا هك - هم 

.. ” أكبر مايمكن عند +( 0216" ). 
.. اقل ثمن للشراء هو ١١0‏ جنيه عند شراء ١١‏ سمكة من النوع (9) »6 سمكة 
من النوع (ب) . 

(9) بفرض عدد الآلات من النوع الأول - س » عدد الآلات من النوع الثافى - 
ض .. )١(‏ س >»..ا ص >» ٠.‏ (؟9) هكس + واص < هه 


١16 - كاه"‎ 9+ ١ها<ء؛->‎ ]/[ 2 


(0) وس + م ص < ؟” , دالة المهدف : ى - .5 س + م ص 


ل : ه6؟س + واص -دهو أى : 
































مجموعة الحل هى المنطقة المظللة و بج 


جيث يز و(ت6 )7 (05م)ء ب(؟.”) +ج(0.؛) 


للأسقاطئ القدير / غلي الدين يدبي 9535:517للله: 


دالة المدف : ع -.> س+ موص 


3 


١ >] 2‏ 8غ« -. 2 مام ١>‏ » حلام ف ماس فلن 


س]ل > 25١‏ ؟ + 8غ »ا ؟ - ككك [ي] ع ندكاء١‏ + :ا - كوا 


.. ” أكبر ما يمكن عند ب(25"). 
:. أكبر ربح هو .7؟ جنيه عند انتاج ؟ من النوع ”٠)0(‏ من النوع (ب) . 


تمارين (38) 
(0 بسب -و(هى-ع) بم دس ,)د( )+ (دن و) 
عرى؟) > 1م + عب !| |30 ؟) || دما؟ + ؛ دماه وحدة طول 
و7 ابو جد زو ) ل (دس ؟) +(ن :)د( وول د) 
تمت ست واج || د | لحنى-؟ )|| دمادة + جد اكلم 
- ما ١7‏ وحدة طول 
69 (0 (تسس)+(اصء)-(22.0) 
(5+يتكصء#*س+)(0.؟2) > ه5بداصض دح , 


االو ل 0 لا لاع 2 


) (#«سءسصض)-(5,5) م ب#«س - 5 . 


» سن ض - 1 2 اص -5 2 ص -"؟ 


(90) س- )6 .. سن - 5 , 6س اص دهم .. 16 دمح ص .. ص د لا 


له 
ب 


لساب ال (مىم)-(وى”م) © مدوا دا 


(ى.-؛)+(قه-5)+(م )د )م 
درط م« -ده) 
0 «) رك | دما( + رماس دماء+ 6 د كد 
0حيوه ع 5د (ي4يةة) 
(ب) ||ب“ || د ماحة + م دما ةة - ؛1 ؛ ظا ١-0‏ . 
أب-(1,ه 0 ) 
)١ )8(‏ الصورة القطبية -(/ا#, ١و٠‏ ) 
الصورة الاحداثية - ( /ا جتا 9٠١‏ ء لا" جا ١0 ( - ) 9١‏ ام ) - لا صم 
(ب) الصورة القطبية -<(3":.:50* ) 
الصورة الإحداثية - ( 0 جتا ».350 جا "١‏ ) -( ١ع‏ .0 ) 
د .مام سم + .ماصم 
(ج) الصورة القطبية -( 5:20 * ) 
الصورة الإحداثية - ( 20 جتا ٠,٠‏ جا "٠‏ ) > ( ٠م07‏ ) 
- .6م" سم -.) صم 

































































الرياضيات للصؤه الأول الثانوي - الفصل الدراسي الثاني الأمتا القدير / علي الدين يحيي 01919770517 


تمارين 7) 
كي -(0.+م +2) سم +(07-8+5)صه 


م > ب - || ”|| دما ه» + ١44‏ دما 58 - ١‏ نيوتن 


.. س >., ص ٠>‏ .. 30 الريع الأول 


. سرعة السيارة (ب) --١٠اى”‏ 
عي -ع, 


() بفرض سرعة السيارة (0) - ١6١‏ ى” 
سرعة السيارة (ب) بالنسبة للسيارة )١(‏ - ني 
--ءااى -.ؤاى” - -مهواى” أى أن السيارة (ب) تسير بسرعة 260 كم / س 
فى الاتجاه المضاد لحركة السيارة (7) . 
(١‏ ا -كم +كم دق -(07+م-6)س +(-و بم دب-م)صم 

م -(0+م) سم +(ب-0)صم 
(أولةً) (+0)سم+(ب-ه )صم دع سم -/ا صم 
7 ,ب دس وح دلا 6 ب--م 
كن 


جه مح لمم بود 


> #ا+م دو 
(ثانياً) ٠‏ القوى متزنة 


#جمده 


00 0 ممه 


لله 


.. ("+م)سم+(ب-0)صمحه. 


> اب دم 


-(ت١)‏ +(-0.4)د(7 )ديس +لاصم 
)١25(+)525(-‏ 2( 7) 
-م)- (-ى -م) 


ا 
-6..)-(4.-؟)-(-5.,؟) 


2) 


دمب 58-2 +دهوج +0 ب 


عه 
58-2 دبي -م بو د مأو 


(8) (0 0 مبجء مستطيل .. ب7 1 بج 
ب سابد (دسلى- م ) لزه )ع (دى دم)د مر ) 


لك ١١‏ )ع -(؟ ١‏ -ك) 


لل الل للك 


بجع ج- بد ( نل ) دلوم لاع دى 


تمارين (0) 
() (م) التقسيم من الخارج 
رب التقسيم من الداخل 


(ج) منتص ف لخد )+700 لبن د نوع 


؟ج 2م دب 


ب يج -م -(5 ؟١١)-(-78‏ )درق ه) 


لو لسن 
6 0) 0 لأن التقسيم من الخارج 


-ك(كءه) + ؟(/ا- 0 _ (حكححه لم +( -) 


5 ل + لل 
- س6 1 


لو+لء؟ 


(4-"0 دن -م/ 00 


4(ءه) +8(لا.-)_ (4.) + امم 
0 ام 0 7 
(وىعلامم)_اوع برل 
2 لطا ل 
2 دزه2؟) -(؟.ىه) رض 


دري ")- (» ه)-(5-)د؟( 01 () 


3 -م)- م( )١‏ 
5 
ج ©» 7 , بء ج 3 مستقيم واحد 
» ب» ج فى جهة واحدة من ١‏ . 
حل آخر للجزء الأول : 
اب دمأ (ه-؟ )؟ +( ؟-ه )؟ دمل و و دعا 
لجاز +7027 شن 
بج - مأ (ه -؛)؟ +(؟-م)؟ دما 1+1 ما؟ 


.. لب دم جح +دبي .م ٠‏ . بء. ج على استقامة واحدة 


لر(؟ءه)+ لء (ه2) 
لو+ل؟» 


ل لكل 


(4ع2”)د 


ثانياً: بفرض نسبة النة لتقسيم - 57 
١‏ 


كلذ +ولى + ولء, 
ل +ل؟» 


كل ++ ولء, > ال +ال, 
23 ج تقسم 7ب من الداخل بنسبة ؟ ١:‏ 
 )4(‏ برض القطتين هناد , > 


5 د اك 
ج تقسم اب ثم بنسبة 5 


ا _؟(4-4)+م(-ك) 
5+١ 0‏ 


دزره.-؟) 
2( حل +(-1) 0 


6 وى منتصف + ب 


تمارين (9) 
)(١( )(‏ ميله-١‏ ومس لح رح 0 
(ب) ميل المستقيم - 
(29؟) 
(ج) شرط التوازى هو /, - /, ء» وشرط التعامد هو /, <ا م ١--‏ 
(5) يمر بالنقطة (”*2؟ )» ومتجه اتجاهه -(5.-5) 
(ه) ٠.‏ النقط على استقامة واحدة .. م١-م؟‏ 


0 » ومتجه اتجاهه - ( ؟, - ه ) » ومتجه العمودى - 









































الرياضيات للصؤه الأول الثانوي - الفصل الدراسي الثاني الأمتاطا القدير / علي الدين يحيي 01919770517 


صض-١ا_لااضص‏ | ص ١ا_‏ لاداص 
؟-ع الإاسع 35 للك 0 


٠.‏ ماص دو م ص دام 


+ ت .معامل س وار 


.. وص - ه -- +١‏ وص 


5م -هم- ل( ب (7 دل( 


)١ )9(‏ متجه اتجاه المستقيم -(0.7) -(8-20)-(*5.2) 
المعادلة المتجهة : ” - ( ٠,"‏ ) +ل (”*,ه ) 

المعادلتان البارامتريان: س -” +م#ك ,» ص وك 

المعادلة الكارتيزية : ص -ص - م( س-س, ) أى: ص - © (س -م) 
.. ماص د وس - و٠‏ أى : وس م ص - ٠ - ٠١١‏ ( المعادلة العامة ) 
(ب) المعادلة المتجهة : ي” - (؟:1) + (-8.6) 


المعادلتان البارامتريان : س -؟-وك ,. ص <١+عك‏ 


المعادلة الكارتيزية : ص ص - م( سس ) أى: ص -١-‏ -5 (س-؟) 


.. ىعص- م -- بس + 0 أى : مس + م ص -م - ٠‏ ( المعادلة العامة ) 
(ج) المعادلة المتجهة : ” - (2؛١)‏ +ك (-١2.1؟)‏ 

المعادلتان البارامتريان : س -؟ -آك ,» ص -١+؟ك‏ 

المعادلة الكارتيزية : ص - ص - م ( سس ) أى : ص + -١‏ -(س-6) 
.. ص ١+‏ - -؟س +ع أى : ؟س + ص -# - . (المعادلة العامة ) 

() بحل المعادلتين جبرياًننجد أن : س - » , ص - "م . نقطة التقاطع (؟8) 
المعادلة المتجهة : ” - (6,”) +ل (-1م) 

المعادلتان البارامتريان : س -؟ حك ., ص -“+ مل 

المعادلة الكارتيزية : ص - ص - م ( سس ) أى : ص -م - -م ( س- ») 


.. ص م - م س + ٠١‏ أى : لم س + ص - ٠ - 1١‏ ( المعادلة العامة ) 


تمارين )٠١‏ 
١‏ من 
امم 


بم 
١-ع(-‏ 0 


- ع ظ(46)-8” دده 


5 1م - | «(س)-؟()+ه| 
|5" +27" 


]مس +م| . ماس +مح د1١‏ 


إما لاس + م دم ل موس ٠١.2‏ © 


أ بلاس جمس مال 


() معادلة المستقيم هى : ا . 
النقطة (-؟."): المقدارع ؟ (-6) -م +”م-- 
النقطة :)٠١١(‏ المقدار ع ؟(١1)-١8+1-<)‏ 
المقدار يختلف إشارتيه .. النقطتان تقعان فى جهتين مختلفتين من المستقيم 
ل ؟بئ]|_احنا ؛ 5 
' إن ددم 6م »© 


|06 -ل+»م| احكار ءا 


> ل دل 
60 جد 6م * 0 


© مل جاع -مل دوه ب الل عد 


() أولاً : نحدد نوع زوايا المثلث بواسطة إيجاد أطوال الأضلاع الغلاثة . 
( ب)" - ( +6" + ")١+2-(‏ - 0» وحدة طول 

» (ب ج)" -(2-4)' +(4+07) - 126 وحدات طول 

» (ج)' -(2+4) ٠٠١-)1+0(+‏ وحدة طول 

». (بج)" - (مب) "+ (مج)؟ , 
ثانيا : نوجد قياسات زوايا المثلث . 


ه بج قائم الزاوية فى ؟ . 


د ملج) عو مده دوم ووه 

» مساحة له 8 بج - ل < ه ٠١‏ - 20 وحدة مربعة 

ملحوظة هامة : إذا كان المثلث منفرج الزاوية فى ؟ : نحسب قياسات الزوايتين 

الحادتين < ب » < ج باستخدام القانون ثم نحسب الزاوية المنفرجة ٠‏ بطرح 
١ 90-0 :‏ 

مجموع قياساهما من ١8١‏ وتكون المساحة - ك »8 / عا ب »ا جا ج. 
5 1 

( معكء. معكءب 


5 
. النقطة ( 5.0  )‏ المستقيم الأول 
|-05 +ه)جةل| 


|22" +(ه)؟ 


.. المستقيمان متوازيان 


بفرض س ٠<-‏ > ص 2 2 


البعد بين المستقيمين -م] 29 وحدة طول 


تمارين )1١(‏ 
(1), س + ب ص + ج, جل (0 س + بم ص +اج ) - ٠‏ 


.. ؟س اص - و بك (س اص .-)١-‏ , عند (ه2”) 


؟(ه)+م-وجل(زه-" .-)١‏ > ربل ده .. 


.- )١- المعادلة المطلوبة هى : ؟ س + ص -ه -م ( س اص‎ .٠ 
.- أى: 6س + ص -ه- م س + م ص +8 -. أى : وس ساو ص ام‎ 
د.‎ ١ - أى: )وس ام ص‎ 


(0) بس + موص و + (س + موص -(0) -. . عند (؟.1؛) 


9 +8()ح ه ++ ل (؟+”ي«و-لا)د. 
١‏ 


م )4 +,ل- و جل (؟+؟١‏ -لا)2. .. لاجلال عه _- 


1 5 َكل 
.. المعادلة المطلوبة هى : ؟ س + م ص - و - 56 (س + م ص -0 ) - ١‏ 
أى : 1س + ١م‏ ص اوم - إل س سا مم ص + إلا داء 


أى : #س - ٠)‏ ص + 46 -. أى : س ا) ص + )1 - ٠.‏ 


اك 0 0 1 ل 
(9) دج يد عم و سصا 





























الرياضيات للصؤه الأول الثانوي - الفصل الدراسي الثاني الأمتاطذ القدير / علي الدين يحيي 019197370517 


.. المستقيمان متقاطعان على التعامد : ل؛ :؟ س -” ص + ) - ٠‏ 


سا صلع؟ م 
لا 00 أى : ماس سامح - م ص + 1 أى : 


ماس + م ص ما -. بجحل المعادلتين معاً نجد أن نقطة التقاطع هى (١؟‏ ) 
9( بحل المعادلتين جبرياً نجد أن نقطة التقاطع هى (١2؟‏ ) 
5 ا ؟-1_د١‏ 
9 ميل المستقيم المار بالنقطتين : )1١*(2)521١(‏ 2-2 2 
.. المعادلة المتجهة له هى : م" - )١,(‏ +ك )١-.6(‏ 


() ل : لل حك أى : ) س + مص -. 


وبجحل المعادلتين معاً نجد أن نقطة التقاطع هى ( 8 -؟ ) , .. 
الصادات .. ميله غير معرف ... معادلته هى : س -م - . 


» ل :#اس ع ص - م١‏ 


المستقيم / محور 


)1١ تمارين‎ 


المقدار - جا 0 قتا 0 - جا 0 ل ١-‏ 


كك 
جا6 
المقدار - -١(- ١‏ جا" 0 ) +1١-1-‏ جا 0 - جا 0 


: مالس ١!‏ -جة0 دن 
المقدار - جتا ديج * عو - م - ظتا 8 


القدار > جا 0 جتا 0 > + - جا" 0 


المقدار - جتا 0 جتا 0 - (- جا 0) جا 0 - جتا 0 + جا 0 - 


الطرف الأيمن - جا" 0 + جا" 0 + جتا" 0 جا" 0 ١+‏ - الطرف الأيسر 
الطرف الأيمن - جتا 0 جتنا 0 - جتا' 0 -١-‏ جا" 0 > الطرف الأيسر 


جا _ جنا" 8+ج"0 _ 
جاة6 جا0 


جا _ ١-جا6‏ _ 


الطرف الأيمن - جتا 0 + جا 0< 


دمارين هله 
(0 > قامعا؟ . 


:. 30 الربع الأول أو الرابع 
.. 20ه؛*+اسع أ 0ع 


جنا 0 2 ل ( موجبة ) 


0-هم* أ 20.وم دف ع ومع دوه 
و هج ؟لء ع1 
.. الحل العام هو: 0 - + ه؛ * + 6ل ]1 


0 © قتا0ع-» . ج01 --ل2 ( سالبة ) 


:. 30 الريع الغالث أو الرابع 

عم مر بام عام أ 0 جيزم امد مره 

8 الجل العام هو: 0 - 6٠١‏ * + ؟ ندج أ 0 حسم ٠‏ + لم1 

() 0 ظا6- ١-‏ (سالية) .. 0 الربع الغافى أو الرابع 

0 عم ردم د وم( 5 أ 0 عملم دف د وسه 

3 الل العام هو: 0 - هم * + لم22 أ 0 دولمه لانررمعر 

ويمكن كتابة ال حل على الصورة : ١١0‏ * + لم ]1 

(؛) م ما ؟ جا 0 جتا 0 -جا0 ٠‏ .. جا0(مأ؟ جتا0-١) ٠2‏ 
60 لم1 


١ 0‏ 1 
5 5 اا عا ا 3 كت 


:. 30 الربع الأول أو الرابع 


.. 0©- + ه؛* ج+ابم1[1 


و-ه* أ 0ح.وم دن ح ورمع ووه 
.. الل العام هو: له ]7 أ + ه؛ * + 6ل ]1 
(5) ؟جا ١-6‏ © جا0- + (موجبة) .. 30 الربع الأول أوالثاى 
فعس أ 0 حمر باس دوه 

.. الحل العام هو: “5 ج ولمع أ ١٠م‏ © + رمعم 

(3) جا0 - جتا 0 .. ظا ١-0‏ ( موجب) © 0 الربع الأول أوالغالث 
0د-ه؛* أ 0-١.مر+ه؛‏ - 0ه * .. مجموعة الحل - [(ه؛ * ,0" ) 
(0) جا 6 -؟ جتا0 .. ظا 0 -؟ (موجب) 30 الربع الأول أوالغالث 
م 0عوى مده أ حرج عد دعوت سوه 

. مجموعة الحل -(5/ "5 ".5 / 0؟ ؟ ) 
(8) ما ؟ جتا 0 - 

.. جتا 0 - ١,4--‏ ( مرفوض لأن ١-‏ < 
.. مجموعة ال حل - 2 

(9) جا6--5 (سالب) © 9 الربع الثالث أو الرابع 


)١< 0 جتا‎ 


١.260‏ م +وم؟ فى * عدوم مه 
أ 0 عمجم - وم ىو ؟ دهم / ررمه 
.. مجموعة الحل - [ ه"” (ل؟؟ ٠‏ .ة 4 30١‏ ) 
() (كجا6-١)(جا0-؟2)-.‏ 
إما ؟ جا0-١1<.‏ 


؟جا0<١‏ د جا0 - 1 ( موجب) 


> 0دالريع الأول أوالثافى . 0--* أ 0 دم مادم د.وره 
أ جا 0 -؟ ( مرفوض لأن ١-‏ < جا 0 )١<‏ 


مجموعة الحل - ...وله ) 


)0600 "جح دما 5+ 5م دمأ ؟ة - وما" - لاسم 
ظاح ج - ع 2 4ح ج) د ظا' (شّ) د 8,34 د امه 


> 7005 ) د.و دم - وو ٠»‏ 


يذلا 


44ح ج) دظا ات 6 امم وم د وم 


00000000 - 


(0) بجت ]| (2,؟)' -(سره)" - اراك الاسم 


-51 ”ره 
يقت ع هع 9 
0 /ارة؟ 2م 
> 5( )-.و- ص دوه 


(0) مب ع 49" -(م)؟ > "*ارم؟ - 58 سم 









































الرياضيات للصذ الأول الثانوي - الفصل الدراسي الثاني 


> م( ج) - جتا 00 نر د ه 


794 ) دو دي دين ٠»‏ 


(0) 05( ) .و -» دمىه 
وب 


» سح د جا 36 © ب - الاجا؟” 51,1 - 77 سم 


لت - جتا 56 > بج - 5لا جتا؟” -70,50 -8 سمب 


: فىالمسائل: (8()7(:)7) يتم تحويل الآلة الحاسبة إلى نظام الراديان‎ ٠ 
511111 210215 4 
سرج)- ع‎ )( 


ى4 
' 


وهر تت كولام 1ت د نتن * 


١ ظاح‎ - 3 


... عبظا معو عم 

> لالجكءر” كت وكء١را"‏ سم 
5 

لج جا ةل دم . 


1ر1 ك خولاو 6 


.. بج ما ظا ١,159‏ و الف الث 7 شرت 


2 كا - جاح ١‏ لجا جا 1,139 ” 18-2 


شكلم د وولاهه,ؤا -8هه,9ا سم 


كد دعي د حولالوو أع نلو * 


ابد روك جتا 1,086 7 17,81 سم 


٠‏ 2ح جاح" 


0 
ا .. بج - ره" جا ١,١85‏ ح /الا/11 ,51 - 11,108 سم 


(9) فى ك ' به القائم فى .: 


كك دظاكه »> بوظام؟ه - هه 
بو 


حيرت 5 
ا ح /الارتث د لاغ سم 


اود 


فى ك جه القائم فى م : 3 دظام؟ © +جءوظا م -0 


ست 1١١]‏ سم .. سج ح بو + ج و حت /ارؤ؛ + 1١15‏ - 11 سم 


؟ى 
الاح نات 
7 جا 


فى "4 القائم فى , : 
.. .> لاجاهه - 5ش طلارهة سم 


> *ب- 9لا 5" "*لاره > متش ,ات لمتطراا سم 


للأسقاطذ القدير / غلي الدين يديي 9535:517ؤللل: 
سع(ج) -ظا' () 2م وو» 


5 د(ج) - جا ١‏ (5)-01/ م5 


0 و(ج) - جتا' (1) -ه)/ 5 


فيه ارتفاع المئذنة - بج 
» بعد الرجل عن قمة المئذنة - ٠ج‏ 


باج 
ل 2 ولأ 6؛ > باح ع 2 
6 ظاه؛ ١-‏ © ج -9؟ متر 


.. مجلا جتاه؛ -)» 


(؛) بعد الجسم عن قاعدة البرج - ٠ب‏ 
4( ) - ه؟ بالتبادل 
فى ك ب ج القائم فى ب : 


ب ععدظاه؟ .. «بكاظاه) دن 
وب 


4 
ظاه؟ 


مبع 


66,78 متراً 


دمارين ليله 


ال ١‏ َّ 
)60 مساحة القطاع دع ل نودت 5 15 ا - كلا سم؟ 


(9) مساحة القطاع -- يس > مساحة الدائرة دك »اج (و,م)؟ م سم؟ 


فيه 00 »ا نور - ٍ) عم« * ')٠١(‏ > لا,١٠‏ سم؟ 


0 مساحة القطاع - 0.1 *» نو؟ - + » ( 1,5 ة) *(0٠0)؟‏ - 


(5) ل-لاء:- محيط القطاع -ل+6نهم .. 60-+6نضم . 6ن- 


(5) 60 حم بانس ب سدور حم تقرح لاسم 


مساحة الدائرة -0] نف - 719 - ١66‏ سم؟ 


090 اب اه 9 ار 


5 ة القطاء - !ل انر . ا نيح ١‏ مد 
(8) 0 مساحة القطاع ح > ل له .. 8-0 كانم حم نح 1١‏ متر 


.. محيط القطاع - »؟ نه + ل -؟(17) +58-57 متر 


تمارين 17 


وع50 لاما كت عو 


)0١ 0(‏ .م ل-0 تكاس 


١ب‏ مساحة القطعة الدائرية - + نيأ (0*-جا0) 


(ج) مساحة القطعة الكبرى - مساحة سطح الدائرة - مساحة القطعة الصغرى 


- م“ عقا 1 


6 0*دس٠‏ مر كك 


(5) س* 1 


١م‎ 


)2( ا حرا عا لكك دم ١ل ٠»‏ 









































الرياضيات للصؤه الأول الثانوي - الفصل الدراسي الثاني الأمتاط القدير / علي الدين يحيي 01999770517 


0 مساحة القطعة الدائرية - + »< (8) [ ١,5‏ - جا ؟1/ ٠١‏ © ] حمر18 سم؟ 
أويتم التحويل لنظام الراديان بالضغط على : 4 710117 '51111”1 ثم 
الت علعة الراك 2-51 3ل 3 - 5ت 
مساحة القطعة الدائرية - + *< (8)' [ ١,6‏ - جا 1,6 ] - ,15 سم؟ 
ولا تنسى أن تضغط عل : 3 710117 '5111171 للعودة للنظام الستينى . 
ل د 5 
(5) وس ا تن 
5 مساحة القطعة الدائرية > ل * (؟1)' [ 5,5 *- جا م * ]- 121,5 سم؟ 
مساحة الدائرة - 1 نهر - ١66‏ ]1 - إركة؛ 
.. مساحة القطعة الدائرية الكبرى > 02,5؛ - 12١,5‏ - 780,0 سم؟ 
(9) فى هعم ج: 0م - نمدم 9+15- هسم 


ب قد( مم ج) دعا بوه 


ظاح 0+ -25- 


ا 

0 

0ك( (مج)ععكام/ مه 85-5 سيره جا امسر 
' ضع | ضل<“ب 

ه8525 كيره اك ت 20 

.. مساحة القطعة الدائرية المحددة 

حك » (ه)' [هخ,١‏ - جا 715 0105 7١2]‏ سم؟ 

(0) .و5 حم وير ا د واه 


18 


55 > ل نيا [ لارام ح جا 90 ] 3 2 نيا لاه را ا] 


7 5ه ع 1 نا عد لاه. نا حوور ب مدم[ 195 -6اسم 


تمارين (10) 
(0 0) مساحة المضلع - + سل' ظتا عل سم؟ 
مساحة السداسى - 1 ١»‏ * (؟)' ظتا 5 1م[ سم؟ 
(ج) د - + حاصل ضرب طولى ضلعين “ جيب الزاوية المحصورة بينهما 
40ل 


(5) قياس زاوية الخمامى المننظه - نكا دييره 


(2 


عاك ااا 1 36 ات 
مساحة الخمامى المنتظم  -‏ < ه » )٠١(‏ »ا ظتا 2 - ١5,٠5‏ سم؟ 


ان ل ع أده م 1 36 2 
مساحة المضلع المنتظم - + < ٠١‏ ا )٠١(‏ »ا ظتا 6 > 15/ا سم' 
5 3 علس 75 1١‏ 
بفرض طول الضلع - س سم 0 ؟؟ ظتا ع > »ا 
٠.‏ س5- ١١5‏ م سدسم 


0070 مساحة الرباعى - 1< ؟1 >< م »ا جا "١‏ - ؟؟ سم؟ 





».صر اداع -03. بنابانىا